兩個多月前，我在留言欄（參見《我的新冠經驗》，第40樓）討論了培養推理能力的幾個步驟：首先必須熟悉邏輯敘述（Logical Statement）的基本規則，然後可以研究常見的狡辯術，再進一步則要瞭解常被用來欺矇外行人的假專業論述，例如統計。之前，我已經寫過《常見的狡辯術》和《統計與謊言》兩篇博文來介紹若干相關的細節，今天我想對後者做一個補充。

《統計與謊言》一文所討論的是有意用統計數字來撒謊的一些事例，但其實統計本身就蘊含許多陷阱，即使是誠實的研究人員也往往陷入錯誤的結論而不自知，其中很重要的一個誤區叫做Simpson’s Paradox（辛普森悖論）。這是選擇性偏差的一個特例；其他常見的選擇性偏差還包括倖存者偏差和Berkson’s Paradox

辛普森悖論最著名的案例來自一篇1975年發表在《Science》的論文（參見《Sex Bias in Graduate Admissions》，http://homepage.stat.uiowa.edu/~mbognar/1030/Bickel-Berkeley.pdf），文章對UC Berkeley在1973學年研究所招生的數據做了統計，發現男生的錄取率是3738/8442=44.3%，而女生則是1494/4321=34.6%。如果這個結果就這樣被媒體報導，幾乎可以確定校方會被嚴厲批評為性別歧視的男性沙文主義者，然而…

論文作者把錄取人數根據不同的系所細分開來。因爲系所太多，這裏我們只檢驗其中最大的四個，這時男生的錄取率是1123/2127=52.8%，女生是439/1101=39.9%，差距更大了！不過請看更詳細的資料：

四個系所中，只有C略偏男生，而且差別很小，A、B和D都優先錄取女生，其中A對女性的偏愛程度極高，明顯不是統計噪音。

之所以會有這樣互相矛盾的兩種結論，在於決定錄取率的最重要變數其實是系所：A和B的整體錄取率是2/3，而C和D只有1/3。如果忽略這個主要變數，硬是把所有的數據叠加在一起，那麽真正影響男女錄取率差別的，就是他們的系所選擇偏好，而不是性別本身。

總結來説，辛普森悖論是主變數被忽略不計，直接將全部數據對次要變數做統計分析時，可能出現的是非顛倒。這似乎是個很簡單的道理，然而這個世界充滿了因爲對這個悖論無知而產生的錯誤結論，對政治、文化、經濟都有深遠的影響。

例如自由市場論者喜歡强調自由競爭，說這會讓能者出頭獲勝。但在自由市場經濟裏，能力並不是成功的頭號條件，資源和機運才是決定性的。像是Trump有何德何能，能在公平競爭下脫穎而出？他靠的是有錢可以雇人幫他考SAT、有錢可以請人幫他寫介紹信、有錢可以讓醫生僞造骨刺證明來逃避兵役、有錢可以收買地方政客、運氣好碰上民粹興起等等。

美國爲了彌補蓄奴和種族歧視的歷史包袱，廣汎采納了Affirmative Action（平權措施），也是利用辛普森悖論來為錯誤政策正名。學生的成績，其主要變數是天分和努力，忽略這些因素不計，直接針對種族這個次要變數來做文章，自然就導致更嚴重的歧視，只不過受害者換成了亞裔。

正因爲要做統計性的結論必須小心避免許多類似辛普森悖論的陷阱，醫學界堅持大規模隨機雙盲對照實驗其實是最基本的要求；這裏事先獨立決定的隨機取樣，就是爲了避免造成各種選擇性偏差，包括辛普森悖論在内。中醫教的信徒遇到盲腸炎或外傷時，並不優先去看中醫，只有在現代科學的能力極限外，才敢大肆吹噓沒有統計意義的軼事，這不但是不知避免選擇性偏差，而且是故意製造選擇性偏差，那麽顛倒是非自然難免，事實上顛倒是非正是他們的目的。

【後註一】博客這裏的留言欄，和我私下收到的通訊，都有質疑我對中醫評價的聲浪，我想在這裏分享一下我給其中一人的回信，解釋爲什麽我會説得那麽決絕、不留情面。至於一人單挑龐大的利益集團，我連美國霸權都公開批評六年了，難道中醫教自認勢力比美國更大嗎？

我明白有些從業的中醫其實存心很善良，只是誤入歧途，就很難跳出來。你看高能物理界多少人去追捧超弦這樣的僞科學？他們照理說是科學界的精英啊！很多中醫原本就不是做科學的，從這個角度看，我或許有些話説得重了；不過從國家民族的觀點，這是確確實實的極大隱憂，如果現在不改進，20年後隨著中國國力持續上升，全世界都會跟著搞這些無用的花樣，那時只怕枉死的人數要以百萬甚至千萬計。我支持中國崛起，是爲了全人類的福祉，不是要用中國版的愚昧和謊話來取代美國版。一般人看不清未來倒也罷了，我既然能預見這事，如果爲了怕衝突而退縮，就無法面對自己的良心。

你還記得幾年前有讀者羡慕我料事如神嗎？那時我就說世事看得太清其實是一個很大的負擔：一般人可以渾渾噩噩地過日子，我卻能確定真的危險和錯誤所在，再加上良心太好，不願意支吾過關，這輩子只好一直得罪人。

【後註二】醫學界一直都知道安慰劑（Placebo）對多數病患有明顯的“療效”（精確地說，是病患會主觀地覺得好些，但是疾病本身的進程並不受影響），但是最新的研究（參見《Placebos without deception reduce self-report and neural measures of emotional distress》，https://www.nature.com/articles/s41467-020-17654-y）發現即使事先對病人聲明是安慰劑，也能同樣地減低主動病痛程度。很不幸的，人類心理天生就有很强的非理性趨勢，這種安慰劑效應導致全世界到處都有巫毉充斥的問題。

【後註三，2024/07/19】今天上《龍行天下》節目（參見《從歐美選舉展望未來國際局勢》）中提到過去八年的美國大選民調出現持續固定的偏差，原因應該來自白左民衆特別樂意參與民調，而同樣的現象也出現在魚類生物學家在珊瑚礁采樣時，遇到若干熱帶魚特別喜歡自投羅網，有興趣的讀者可以在此閲讀原始論文《Testing assumptions of mark–recapture theory in the coral reef fish Lutjanus apodus》。

我個人對魚類生物學並無絲毫興趣，會找到這篇刊在《Journal of Fish Biology》的論文，純粹是爲了深入瞭解統計偏差。