萬物皆是數字。

－－畢達哥拉斯 

張三在李四的前面 n 公尺，速度是李四的一半。李四追張三，追到張三原先的位置時，張三已經往前走了 n/2 公尺。當李四追到這個新的位置時，張三又往前走了 n/4 公尺。

這樣，無論李四怎麼追，張三永遠在他前面一點點。雖然是越來越小的一點點，可是李四永遠不可能超越張三。

我大約在四十年前第一次聽到這樣的詭論。明明和現實不符，邏輯上卻是對的。我也聽過幾個解釋，已記不得了，可能是當時就沒說服我。

我自己後來的解釋認為，這個推論把時間和空間擠壓到無限小的範圍裡頭去了，可是真實的世界，時間和空間不會陷入這樣的牛角尖。但是，這樣的理解，頂多只是描述了現實，並沒有真的回答了問題。每次想到這個詭論，心中便覺不安。

直到我看到了量子論，才得到真正的答案。原來時間和空間不是連續的，換句話說，它不能無限的分割。就像能量的傳遞是以量子為單位，時間和空間也是量子化的：量子化的時間和量子化的空間。

當李四追張三，追到只剩下一個量子單位長度的時候，假設李四花了一個量子單位的時間就跨越過去了，這個時候，張三卻走不出 1/2 個量子單位長度來。在量子化的尺度下，只有 1 和 0，沒有 1/2。這時候，張三只有兩種可能：走或不走。

他有 1/2 的機率不走，也有 1/2 的機率走一個量子單位長度。如果他不走，那麼李四就追過張三了。如果張三也走了一個量子單位長度，那麼，在下一個量子單位時間上，他很可能就不走了（因為走與不走的機率都是 1/2），李四也就超過他了。

空間的量子化單位有點像我們的電腦螢幕，畫面由像素所構成，而鄰近的兩個像素之間，沒有辦法再切入一個點。（只不過，螢幕的比喻沒有機率的因素，所以只是「有點像」而已。）

有趣的是，當數位電腦發明的時候，我們都覺得實體世界是類比的，數位技術只是不得已的模擬。一直到現在，還有人認為數位錄音比不上類比錄音的柔美。如果真是這樣，這恐怕只是因為數位錄音的技術（位元數）還不夠，而非它遍離了實相。我們那時萬萬沒有料到，真實的世界本來就是數位的，而不是類比的。

所謂類比，只不過是我們對數位世界的混沌印象。真實世界的解析度太高了，每一單位內的「像素」大得不得了，以致我們無法分辨出它的「不平滑」。就像以前用印表機印照片，無論如何比不上沖洗的照片。現在因為解析度提高，一台普通的印表機，就可以印出品質非常接近沖洗的照片來。

在我看過的文獻中，有的說宇宙是不連續的，有的說宇宙是不平滑的，也有說時空是離散的，但我比較喜歡說宇宙是數位的。「宇宙是數位的、而非類比的」，我覺得這種比喻相當傳神。

宇宙中的一切都是資訊（位元）。不是萬物包含了資訊，而是萬物本身即由資訊構成。就像電腦處理大量的資訊，雖然我們不知道 CPU 和 RAM 裡頭究竟發生了什麼事，但是我們可以因此看到螢幕中的影像，聽到揚聲器裡播出的歌。

宇宙本身就是大量的資訊，我們不知道我們的眼睛、耳朵、神經和頭腦發生了什麼事，但是我們因此看到了日月星辰，聽到了細雨清風，我們思索宇宙的真相。由於我們沒有明晰的透視力來解讀每一個位元資訊，也不需要那麼做，所以我們產生了一個天大的幻覺，誤以為宇宙是平滑的、連續的和類比的。

回到剛才的問題，能量和質量都是以量子（也就是基本粒子）來運作或表達的。質能為什麼有基本粒子呢？我們且放棄從艱深的數理理論中尋找答案，我們不如反過來問：「如果物質沒有基本粒子，而可以無限的切割下去，世界會是怎樣的呢？」

物質如果可以無限的切割，那麼物質便由無限的事件組成，其間的關係也就會是無限的。空間是事件的關係，所以空間也是無限的（不是說空間無限大，而是空間可以無限的切割）。時間是事件關係的變化，所以時間也是無限的（不是說時間無限長，而是時間可以無限切割）。

先不說它對錯，如果真是這樣，站在人的角度，世界是不是過度的複雜，而變得無法處理？我們一開始所提的詭論，就是因為這種複雜關係而產生的。它使世界陷入一個永無止境的牛角尖去。可是別忘了，真正的牛角尖也是有極限的。

如果物質有最小的單位，事情反而簡單了，合理了。物質的事件是有限的，因此是可處理的。事件的關係（空間）和關係的變化（時間）也就是有限的、可處理的了。

註一：非常感謝量子客，他在我撰寫這篇文章的時候，幫我釐清了很多基本概念。但他沒有看到本文發表前的最後定稿，如果有什麼錯誤的話，那是我自己的責任。〈一段回應的筆記〉正是量子客在我們討論過程中的一部分對話。各位對「什麼是量子」有興趣，可以參考該文。

註二：在量子態下，很多事情必須要用機率來說明，本文只談到一點點，那是為了簡單表述的緣故。但坦白說，不談機率，就很難真正的表達出「離散」的意義。

註三：空間的基本尺度是蒲朗克長度 (lp=1.616x10^-35m)，時間的基本尺度是蒲朗克時間 (tp=5.319x10^-44s)，質量的基本尺度是蒲朗克質量 (mp=2.1777x10^-８kg)。

這就是世界的基本位元。由於它們是那麼的小，我們一眨眼的時間，所包含的「基本時刻」，其數目就要比整座珠穆朗瑪峰所包含的原子數還要多。

世界就是資訊：極大量但有限的資訊。

註四：以下是可觀察物體的大小比較表。從這個表可以看出來，宇宙的每一個「像素」只有 10^-35 那麼小，那是多麼高的解析度啊！

半徑（公尺）       代表物體
10²⁶                                  可觀察的宇宙
10²⁴                          超星系團
10²³                          星系團
10²²                          星系群
10²¹                          銀河系
10¹⁸                          分子雲
10¹²                          太陽系
10¹¹                          紅巨星大氣圈
10⁹                           太陽
10⁸                           木星
10⁷                           地球，白矮星
10⁵                           小行星，彗星
10⁴                           中子星
1                              人類
10^-2                          DNA長度
10^-5                          活細胞
10^-9                          DNA寛度
10^-10                         原子
10^-14                         重原子核
10^-15                         質子，中子
10^-35                         空間量子