從鄧天錫相鄰二質數的間隙定理  看張益唐質數之間的有限距離     

                       國立臺灣大學數學系 鄧天錫      

                           相鄰二質數的間隙定理 

設 p=2b+1為質數,p³3.令X_p為從 2到 p為所有質數的倍數. 

F(x)=X_p+2x+1³3.則F(1),F(2),F(3),F(4),…,F(b)為

非質數的連續奇數,且必然存在相鄰二質數 P,Q    

使 P<F(1)<F(b)<Q.則此相鄰二質數 P,Q的間隙中

至少有 b 個非質數的連續奇數 F(1),F(2),…,F(b) 

及(b+1)個連續偶數.

證: 

   由所設 p=2b+1為質數,p³3.令 X_p為從 2到 p為

所有質數的倍數.

F(x)=X_p+2x+1.得 F(1)=X_p+3.3½X_p.®3½F(1);

F(2)=X_p+5.5½X_p.®5½F(2); F(3)=X_p+7.7½X_p.®7½F(3);

F(4)=X_p+9.3½X_p.®3½F(4);…;

F(b)=X_p+2b+1=X_p+p,p½X_p.®p½F(b),且 2½X_p.

即得證 F(1),F(2),F(3),F(4),…,F(b)為非質數的連續奇數,

取 P為 P<F(1)中之最大質數;Q 為 F(b)<Q中之最小質數.

則此相鄰二質數 P ,Q的間隙中至少有 b 個非質數的連續奇數  

 及(b+1)個連續偶數.®相鄰二質數 P,Q 的間隙中  

至少有 p=2b+1個非質數的連續整數.Q-P³2b+2.

例1. 當p=2b+1=5,令 X_p=2(3)(5),

    F(x)=X_p+2x+1=2x+31.®P=F(0)=31,

    F(1)=33,F(2)=35,F(3)=37=Q.

   即得相鄰二質數P=31,Q=37的間隙中有2個非質數的

  連續奇數F(1),F(2)及3個連續偶數32,34,36.

例2. 當p=2b+1=7,令X_p=2(3)(5)(7),

       F(x)=X_p+2x+1=2x+211.®   

    P=F(0)=211,F(1)=213,F(2)=215,F(3)=217,

    F(4)=219,F(5)=221=13(17),F(6)=223=Q.

  即得相鄰二質數P=211,Q=223的間隙中有有5個非質數的連續奇數

  F(1),F(2),F(3),F(4),F(5)及6個連續偶數  

  212,214,216,218,220,222.

例3. 當p=2b+1=11,令X_p=2(3)(5)(7)(11),

  F(x)=X_p+2x+1=2x+2311.®P=F(0)=2311,                      

   F(1)=2313=3²(257),F(2)=2315=5(463),

   F(3)=2317=7(331),F(4)=2319=3(773),

   F(5)=2321=11(211),F(6)=2323=23(101),

   F(7)=2325=3(5²)(31),F(8)=2327=13(179),

   F(9)=2329=17(137),F(10)=2331=3²(7)(37),

   F(11)=2333=Q.即得相鄰二質數P=2311,Q=2333的

   間隙中有10個非質數的連續奇數F(1),F(2),F(3
  F(4),F(5),F(6),F(7),F(8),F(9),F(10)及及11個

   連續偶數2312,2314,2316,2318,2320,2322,2324,2326,

   2328,2330,2332.

例4.當p=2b+1=13,令 X_p=2(3)(5)(7)(11)(13),

   F(x)=X_p+2x+1=2x+30031.®P=F(-1)=30029,

   F(0)=30031=59(509),F(1)=30033=3²(47)(71),

   F(2)=30035=5(6007),F(3)=30037=7²(613),

   F(4)=30039=3(17)(19)(31),F(5)=30041=11(2731),

   F(6)=30043=13(2311),F(7)=30045=3(5)(2003), 

   F(8)=30047=Q.即得相鄰二質數 P=30029,Q=30047 的

   間隙中有8個非質數的連續奇數F(0),F(1),F(2),F(3),

   F(4),F(5),F(6),F(7),及9 個連續偶數30030,30032,

   30034,30036,30038,30040,30042,30044,30046.

對比於張益唐質數間的有限距離小於7千萬.因此當p=2b+1為 

 大於7千萬的質數,則此相鄰二質數P,Q 的間隙必大於7千萬.     Q-P³2b+2>7(10)⁷. 但是如何才能找到從2到大於7千萬的質數呢？

   根據網路訊息:「黎曼在一篇一八五九年發表的短文中提出 

一個和質數分佈有關的猜想,後世稱為黎曼假設,公認是當今

最難解的懸案之一.兩年前,克萊數學研究所懸賞百萬美元徵求

黎曼假設的證明或反例.有辦法破解的人不但能一夕成名,

也能致富,數論是一門有兩千五百多年歷史的科目.黎曼在一篇不

到十頁,討論質數分佈的論文裡,提出他的假設.這篇論文是數論

發展上最重要的論文之一,質數是所有自然數的原子.頭幾個

質數2、3、5、7、11和13,很容易檢驗,但是究竟那些是質數,

並沒有明顯的規則.判斷一個數是不是質數,目前沒有簡單的算法.…」

只可惜洋洋灑灑長達十頁的黎曼猜想,並沒有找到明顯的規則

去判斷一個數是不是質數,說穿了,就是空空如也.

如今本人已找到質數分佈的明顯規則,一次便可列出任意多個

連續整數中的質數序列,根本不須演算.像是:

1.閉區間[1,10000]中質數的序列集合為

   {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 ,41,43,47,53,…,

    9887,9901,9907,9923,9929,9931,9941,9949,9967,9973}

   共計有1229個質數.2,…,9973 的連乘積大於(10)³⁴⁹².

    當p=9973.®X_p>(10)³⁴⁹²,F(x)=X_p+2x+1.

    P為小於F(1)之最大質數;Q為大於F(4986)之最小質數.

    P,Q為相鄰二質數.Q-P³9974.

2.閉區間[10001,50000]中質數的序列集合為

   {10007,10009,10037,10039,10061,10067,10069,10079,…,

     49939,49943,49957,49991,49993,49999}共計有3855個質數.

    2,…,49999的連乘積大於3⁹⁵⁶(10)¹⁹⁷³³.

    當p=49999.®X_p>3⁹⁵⁶(10)¹⁹⁷³³,F(x)=X_p+2x+1.

    P為小於F(1)之最大質數;Q為大於F(24999)之最小質數.

    P,Q為相鄰二質數.Q-P³50000.

3.閉區間[50001,100000]中質數的序列集合為

   {50021,50023,50033,50047,50051,50053,50069,50077,…,

     99923,99929,99961,99971,99989,99991}共計有4460個質數.

   2,…,99991的連乘積大於3²⁶⁵⁶(10)⁴⁰⁰³².當p=99991.®

   X_p>3²⁶⁵⁶(10)⁴⁰⁰³²,F(x)=X_p+2x+1.P為小於F(1)之最大質數;

   Q為大於F(49995)之最小質數.P,Q為相鄰二質數.Q-P³99992.

 4.求閉區間[100001,150000]中質數的序列集合為

   {100003,100019,100043,100049,100057,100069,100103,…,

    149939,149953,149969,149971,149993}共計有4239個質數.

   2,…,149993的連乘積大於3²⁶⁵⁶(10)⁵⁹²²².當p=149993.®

   X_p>3²⁶⁵⁶(10)⁵⁹²²²,F(x)=X_p+2x+1.P為小於F(1)之最大質數;

   Q為大於F(74996)之最小質數.P,Q為相鄰二質數.Q-P³149994.

   但閉區間[1,150000]中最大間隙相鄰二質數為

   「143053-142981=72.」「31469-31397=72.」

    比Q-P³149994小太多了.

如此順其自然,一以貫之,可得更多更大的質數序列而永無止境,

由於張益唐所云質數間的有限距離小於7千萬.被形容為 

「破解千古的數學難題」,震驚國際數學界,一夕暴紅. 

 據稱已經過了一億或百億次的測試,相較於F(x)=X_p+2x+1.

且從2到 149993所有質數的連乘積 X_p>3²⁶⁵⁶(10)⁵⁹²²²,

那微乎其微百億次的測試.又豈能確定質數間的有限距離

小於7千萬.無怪乎該文的作者也認為估計粗略,應該比7千萬更小.

於是眾多的數學家們便以該文為基礎,很快就將質數差距繼續縮小,

隨即網路上議論紛紛,諸如:「最初的七千萬,怎麼瞬間就縮小

到25萬了.如他的證明無誤,則是孿生質數猜想的重大進展！」

以及「這個證明跟找夠大的質數有沒有説明！」…等不一而足.

為此本人歷經了近七年的探索與嚐試及數十百次的驚喜與挫敗,

終於找到了一個「特殊的質數序列A_n.」並由此導出

「廣義孿生質數的存在性.」而得質數A₁=3, A₂=11, A₃=59,

A₄=1019, A₅=262139, A₆=17179869179>7(10)⁷「7千萬」,

則當p=2b+1=17179869179,b=8589934589.X_p 為從2 到 p

所有質數任意多次方的連乘積. F(x)=X_p+2x+1.

取P為小於F(1)中之最大質數;Q為大於F(858993458)之最小質數.

P,Q為相鄰二質數則由鄧天錫相鄰二質數的間隙定理.®.

Q-P³2b+2=17179869180.但閉區間[1,17179869179]中相鄰

二質數最大間隙應該比 Q-P³17179869180 小得多.

由於質數A_n可為任意大的正整數.®相鄰二質數的間隙可為任意大

的正整數,又何須以「7千萬」基礎,繼續縮小.豈不是愈陷愈深,

愈描愈黑.又據網路報導:

「質數在數線的起點非常多,但隨著數字變大,出現機率便會下降,

例如1到10之中,有40%都是質數（2、3、5、7）.但在所有

10 位數的數字中卻只有4%是質數.過去一百多年來,數學家已經

研究出質數減少的平均趨勢：在很大的數字中，質數之間的差大約

是位數的2.3倍.也就是說,在100位數的數字中,質數與質數之間的差

大約為230.」然而根據本人首創的相鄰二質數的間隙定理:

p=2b+1為質數.令X_p為從2 到p所有質數任意多次方的連乘積.

F(x)=X_p+2x+1.並經證明 p=17179869179確為質數,

且大於171個七千萬,因此X_p 的十進位排列可長達若干里.

倘若依照過去一百多年來,數學家研究出10位數,100 位數的

數字中質數減少的平均趨势,那麼十進位排列長達數百萬

位數的數字中,其質數與質數之間的差又大約為多少？

豈不要等幾億兆年.但已經是世界末日以後的事了

近年來,2013/2/8.美國中央密蘇里大學數學家庫柏（Curtis Cooper）

發現目前已知最大的質數,可寫成「2的57,885,161 次方減1」共有

17425170萬位數,比前一個最大質數多了400多萬位數.如果每天花

12 小時用手寫,以每秒1 位數速度,要403天,才能將這個質數寫出來,

2016/1/21.專門搜尋巨大質數的計劃GIMPS宣佈,目前已知最大的質數,

長達2233萬位.然而根據本人首創的「特殊的質數序列 A_n」

只需要將GIMPS宣佈長達2233萬位巨大的質數p 或p 的億萬次方當作n,

則 A_n 的十進位排列轉眼間可環繞地球,星星,月亮或太陽長達任意多圈.

顯見得所有數學家對巨大質數的搜尋是徒勞無功了.須要知道鄧天錫首創 

的「特殊的質數序列」的嚴格證明嗎？抑或是要繼續「愚公移山」呢？

為何一般需要超過兩年通過的論文突然縮短成不到三周？誰能有此

神通！尤有甚者,則是把那虛無縹緲的黎曼猜想轉化成華人數學界中

的聖杯,藉以招攬天才兒童,仲介出國深造.再用成名致富作誘餌,

煽惑異議人士,詆譭培育自己的國家,誇耀他國文化.

孟子說:「萬鍾則不辨禮義而受之,萬鍾於我何加焉！」 

猜想多誤導,謬論已推翻,曾為台大人,不負母校恩,利榮非吾願,

常發菩提心.

為了自籌出版費用,我不惜以基本工資,廉售我的研習成果.

以一般的速度計時,列出下列閉區間的質數序列.諸如: 

閉區間[1001,1500]中質數的序列,以每 6分1 數共計有3000分鐘.

閉區間[1501,2000]中質數的序列,以每 7分1 數共計有3500分鐘. 

閉區間[2001,2500]中質數的序列,以每8分1 數共計有4000分鐘. 

依此遞增,低價成交,要多少給多少,每 500一次,歡迎連續贊助. 

並免費贈送閉區間[1,1000]中質數的序列. 

{2,3,5,7,11,13,17,…,983,991,997}共計有168個質數.

歡迎批評指教,本人聞過則喜.來信請寄:

郵遞區號:600 台灣省,嘉義市,和平路,261之1號9F-4. 鄧天錫收