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| 2014/09/09 22:33:17瀏覽2104｜回應0｜推薦0 | |
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畢氏定理的無限推廣與得心應手的快速方法 作者: 臺大數學系, 鄧天錫 電子信箱:bb690827@yahoo.com.tw
根據網路報導: 「畢氏定理的影響及一般化可應用到相當廣泛的領域，…。 天文學家克卜勒（Kepler）認為畢氏定理為幾何學上的黃金…。 一些學者認為畢氏定理在畢氏前一千年就為人所熟知。現在收藏於 哥倫比亞大學的巴比倫楔形泥版322，是西元前1700年左右的文物。 …。經過 Neugebauer 等學者的解釋， 我們可以看到其上有十五組畢氏三元組。…就是直角三角形 兩股長為 a，b，斜邊長為 c。…。 則 a=(p2-q2)，b=2pq，c=p2+q2。其中p，q為整數。…。」 然則數學的發展, 在於創新與推廣,不在於考古與收藏. 沒有創新, 便沒有推廣. 而一切新創的定理, 必須經過嚴謹的證明, 而後才有得心應手的快速方法. 進而可以處理更為廣泛的問題. 以達於數論中畢氏定理多元組無限推廣的需求. 茲就本人新創的方法對畢氏定理推廣如下: 一. 數論中畢氏定理的無限推廣. 設a,b,c,…,x為正整數. a<b<c<…<x. 可得畢氏多元組 a2+b2+c2+…=x2. 但三元組未必是 a = p2-q2, b =2pq. p , q 為整數. 儘管 Neugebaue 之流號稱學者, 只是對三元組的解說, 不過是特例而已, 根本不夠完整. 如同鼠目寸光, 好比瞎子摸象. 更談不上數論中畢氏定理多元組的無限推廣. 事實證明, 下列各個例題中的 a 可為任意正整數, 不然就請鑑賞 Neugebaue 之輩及那些學成歸國的專家團隊, 把 下列最簡單的畢氏三元組中的 a , b 變成 a=p2-q2, b =2pq 吧！ (一) 數論中任意大的畢氏三元組. a2+b2=x2. x 必為整數. 舉例如下: 1. a =4833, b=11678944. 2. a=10368, b=26873855. (二) 數論中任意大的畢氏四元組. a2+b2+c2=x2. x 必為整數. 舉例如下: 1. a=144, b=5183, c=13442112. 2. a=143, b=10224, c=52275312. (三) 數論中任意大的畢氏五元組. a2+b2+c2+d2=x2. x必為整數. 舉例如下: 1. a=96, b=2303, c=2306, d=5315330. 2. a=144, b=5183, c=5186, d=26889410. (四) 數論中步步高升的畢氏多元組. a2+b2+…=x2. x必為整數. 舉例如下: 1. a=16, b=63. 2. a=16, b=63, c=2112. 3. a=16, b=63, c=66, d=4290, 4. a=16, b=63, c=2112, d=2232384. 5. a=16, b=63, c=2112, d=2114, e=4466882. 6. a=16, b=63, c=66, d=4290, e=9206340. 7. a=16, b=63, c=66, d=4290, e=4292, f=18416972. 以上命題, 取之不盡, 像是: 7. 當a=16, b=63, c=66, d=4290, e=4292, f=18416972. 如何得知 (16)2+(63)2+(66)2+(4290)2+(4292)2+(18416972)2=x2. x 必為整數. 又當a=157486392115…6…的十進位的位數延伸到億萬光年的 任何一正整數, 同樣可以求得一組或多組 b,c,…,x 等正整數, 使a2+b2+c2+…=x2 . 相較於網路所說 : 「張益唐突破了這道難題。…。聖荷西州立大學 （San Jose State University）的數論學者高茲頓 （Daniel Goldston）表示，這項成果「極其驚人」…。 從此以後, 這些迷人的猜測便成了數學領域中的聖杯, 雖然無法實際應用, 地位卻十分崇高。」 針對於網路所說, 不由得有感而發: 有錢能使鬼推磨, 外來和尚好念經. 大吹法螺鳴得意, 陷入癡迷更忘形. 攀附狗尾, 認作貂裘. 飾非為是, 弄巧成拙. 顧盼自雄, 沐猴而冠. 居位無能, 不知羞慚. 孔子說:「 視其所以, 觀其所由, 察其所安, 人焉廋哉 ?人焉廋哉 ?」 迷人猜測癡人夢, 地位崇高無實用. 誇示成果互標榜, 虛擬聖杯樂陶然. 從此惡臭逐青芬, 榮恥倒置辱斯文. 語云:「西子蒙不潔, 人皆掩鼻而過之.」 不識數學真面目, 只緣深陷迷霧中. 二. 依據內積空間的定義與公設, 而得畢氏定理的推廣. 舉例如下: 例1. 令 a =2x, b =3x2-1, c = (x-1)(3x+1) . 定義｜a｜2= a‧a 為4x2dx 從 -1 到 1 的定積分, ｜b｜2= b‧b 為 (3x2-1)2dx 從 -1 到 1 的定積分, 得畢氏三元組｜a｜2+｜b｜2=｜c｜2 對嗎？ 例2. 令 a =2x, b =9x2-3, c =5x3-3x, d =5x3+9x2-x-3. 定義｜a｜2= a‧a 為4x2dx 從 -1 到 1 的定積分, ｜b｜2= b‧b 為 (9x2-3)2dx 從 -1 到 1 的定積分, ｜c｜2 = c‧c 為 (5x3-3x)2dx 從 -1 到 1 的定積分, ｜d｜2= d‧d 為 (5x3+9x2-x-3)2dx 從 -1 到 1 的定積分. 得畢氏四元組｜a｜2+｜b｜2+｜c｜2 =｜d｜2.對嗎？ 例3. a=2, b =3x, c =3x2-1, d =5x3-3x, e =5x3+3x2+1. 定義 ｜a｜2= a‧a 為4dx 從 -1 到 1 的定積分, ｜b｜2= b‧b 為9x2dx 從 -1 到 1 的定積分, ｜c｜2 =c‧c 為 (3x2-1)2dx 從 -1 到 1 的定積分, ｜d｜2 =d‧d 為 (5x3-3x)2dx 從 -1 到 1 的定積分, ｜e｜2= e‧e 為 (5x3+3x2+1)2dx 從 -1 到 1 的定積分. 得畢氏五元組｜a｜2+｜b｜2+｜c｜2+｜d｜2 =｜e｜2 對嗎？ 三. 依據複數域4維內積向量空間的定義與公設, 而得畢氏定理的推廣.舉例如下: 例1. 令 a = [-2,0,2i,2], a’ = [-2,0,-2i,2], b =[3+i,3i,1,3+2i],b’ =[3-i,-3i,1,3-2i], c =[5+i,3i,1-2i,1+2i], c’ =[5-i,-3i,1+2i,1-2i]. 定義｜a｜2= a‧a’, ｜b｜2= b‧b’, ｜c｜2=c‧c’. 得畢氏三元組｜a｜2+｜b｜2 =｜c｜2 對嗎？ 例2. 令 a = [6,0,-6i,-6], a’ =[6,0,6i,-6]; b = [6+2i, 6i,2,6+4i], b’ =[6-2i,-6i,2,6-4i]; c = [-4+5i,2-i,-4-8i,4+i], c’ =[-4-5i,2+i,-4+8i,4-i]; d = [-4+7i,2+5i,-2-2i,16+5i], d’ =[-4-7i,2-5i,-2+2i,16-5i]; 定義｜a｜2=a‧a’,｜b｜2= b‧b’ ,｜c｜2= c‧c’,｜d｜2= d‧d’. 得畢氏四元組｜a｜2+｜b｜2+｜c｜2 =｜d｜2. 對嗎？ 以上畢氏定理推廣之各個例題是源自於本人所創設的 「基底向量自然正交化」. 歸類於鄧天錫論文集中的一篇英文稿標題為 “Natural orthogonalization framed by unified expressions”. 鑒於時下世界各大學數學教材所沿用 “Gram-Schmidt orthonormalization process” 之過程太複雜. 尤其是那些來愈多的分數和根數演算, 令人不勝其煩. 為此我創設了一以貫之, 一目了然的 「自然正交化的統合公式」.完全沒有煩瑣的分數和根數的演算 不僅易學易懂不易忘, 還兼具有自動檢驗的功能. 一方是默默無聞的苦行僧, 另一方是兩位鼎鼎大名的洋和尚. 然則真理之前, 人人平等. 一經比對, 立見真章. 數學原是方法論, 無分新舊與華洋. 既然天文學家克卜勒(Kepler) 認為畢氏定理三元組為幾何學上的黃金. 那麼國人創設的內積向量 空間及數論中畢氏多元組的無限推廣又是什麼？ 卻嫌金玉污風骨, 師夷末技品格低, 陋室潛研抗打壓, 突破封殺現光華. 殊不知: 壓力愈高, 彈力愈大. 此所以: 打壓由他, 研習在我. 不亦樂乎！ 修築傳習康莊道, 見證數學真風采. 許將微軀千般劫, 願得春風化雨來. 堅持理念 服膺真理 虛心受教 聞過則喜 事關數學之革新與國族之尊榮, 乃不揣鄙陋, 敢效獻曝之忱. 臺大數學系: 鄧天錫 E-mail:bb690827@yahoo.com.tw 寓臺灣省嘉義市和平路261之1號9F-4.於2014年8-9月. |
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| ( 心情隨筆｜心情日記 ) |
