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用顺其自然的正交化向量终结Gram-Schmidt长久以来正交化的繁琐步骤

心情隨筆｜心情日記　2022/01/30 00:22:36

用鄧天錫顺其自然的正交化向量终结                         Gram-Schmidt长久以来正交化的繁琐步骤                                   作者: 遠東科技大學 鄧岱松 克紹箕裘,子承父業..鄧天錫基底向量正交化定理:     設{a1,…,an}為布於複數域內積向量空間中n個線性無關之向量, 簡稱基底向量. 令aij=ai‧aj表ai,aj之內積,aji=aj‧ai=a¢ij表aij之共軛複數. aii=ai‧ai>0,令b1=a1, b2表2階向量行列式, [a11, a1]表b2之第1列, [a21, a2]表b2之第2列,…, bn表n階向量行列式,[a11,a12,…,a1(n-1),a1]表bn之第1列,…, [an1,an2,…,an(n-1),an]表bn之第n列.由行列式之運算規則 b1‧b1=a11>0,b2‧b1=0,b2‧b2>0,…,   bn‧b1=…=bn‧bn-1=0, bn‧bn>0. 而得{b1, b2}為基底向量{a1,a2}之正交基底,…, {b1, b2,…, bn}為基底向量{a1,a2,…,an}之正交基底. 由於鄧天錫之基底向量正交化定理本乎自然,一以貫之, 其證明渾然天成,故稱之為自然正交化定理. 相較於(Gram-Schmidt¢s 合力創設的orthogonalization 正交化), 既難懂又難學.長久以來,欺世盜名.瓦釜雷鳴,莫此為甚. 竟以步驟混充證明.謹代為證明如下:  設{a1,…,an}為布於複數域內積向量空間之一組基底向量.令b1=a1, 假定{b1,…,bk-1}為{a1,…,ak-1}之正交基底,1<k£n. 則bii=bi‧bi>0,且當i¹j,bij=bi‧bj=0.I£i<k, I£j<k,. 令Pik=bi‧ak,Pki=ak‧bi,I£i<k, I£j<k. bk=ak-{(Pk1／b11)b1+(Pk2／b22) b2+…+        (Pk(k-1)／b(k-1)(k-1))b(k-1)}. 則{b1,…,b(k-1),bk}為{a1,…,a(k-1),ak}之正交基底 證:    令cbk表k階向量行列式,[b11,…,0,b1]表cbk之第1列,…,  [0,…,b (k-1)(k-1),b(k-1)]表cbk之第(k-1)列,…,  [Pki,…, Pk (k-1),ak]表cbk之第k列,1<k£n.c¹0,c為常數.  Pki=P¢ik為Pik之共軛複數.由於b1=a1,     且{b1,…,b(k-1)}為{a1,…,a(k-1)}之正交基底,1<k£n. {a1,…,a(k-1),ak}為線性無關,   則{b1,…,b(k-1),ak}亦必為線性無關.® cbk‧ak=Bk表k階數字行列式,                                     [b11,…,0, P1k]表cbk‧ak=Bk之第1列,…  [0,…,b (k-1)(k-1),P(k-1)k]表cbk‧ak=Bk之第(k-1)列,…,  [Pki,…, Pk (k-1),akk]表cbk‧ak=Bk之第k列.  cbk‧bi表k階數字行列式,[b11,…,0, b1i]表cbk‧bi之第1列,…, [0,…, b (k-1)(k-1), b(k-1)i]表cbk‧bi之第(k-1)列,  [Pki,…, Pk(k-1), P ki]表cbk‧bi之第k列,  且bii=bi‧bi>0,bij=bi‧bj=0,i¹j,"1£i<k,1£j<k.  cbk‧bi=0,1£i<k.®bk‧bi=0,即得證  {b1,…,b(k-1),bk}為{a1,…,a(k-1),ak}之正交基底. cbk=B1kb1+B2kb2+…+Bk-1kbk-1+Bkkak Bik=(-1)i+k△ik為行列式cbk或Bk在第i列第k行的餘因式. △ik為(k-1)階行列式,[b11,0,…,0,0]表△ik之第1列,  [0,b22,0,…,0]表△ik之第2列,…  [0,0,…,b (i-1)(i-1),…0]表△ik之第(i-1)列, [0,0,…,b (i+1)(i+1),…0]表△ik之第i列, ……      [0,0,…,0,0,0,…b (k-1)(k-1)]表△ik之第(k-2)列, [Pk1,Pk2,…,Pk(i-1),Pki,Pk(i+1),…Pk(k-1)]表△ik之第(k-1)列, 由行列式之運算規則,得 △ik=(-1)(k-1)+i Pkib11…b(i-1)(i-1)b(i+1)(i+1)…       b(k-1)(k-1), Bik=(-1)i+k△ik=(-1)i+k(-1)(k-1)+i                                      Pkib11…b(i-1)(i-1)b(i+1)(i+1)…b(k-1)(k-1) =-b11…b(i-1)(i-1)Pkib(i+1)(i+1)…b(k-1)(k-1)  =-(Pki Bkk／bii),1£i<k. cbk=B1kb1+B2kb2+…+Bk-1kbk-1+Bkkak,選取c=Bkk>0.® bk=B1kb1+B2kb2+…+Bk-1kbk-1+ak=ak-(Pki bi／bii). 即得證{b1,…,b(k-1),bk}為{a1,…,a(k-1),ak}之正交基底. 是謂Gram-Schmidt¢s正交化基底的步驟. 例1.   設a1=[1,1,0], a2=[1,2,0], a3=[0,1,2].   求{a1, a2, a3}之正交基底. 解一:由基底向量之自然正交化 a11=a1‧a1=2,a21=a12=a1‧a2=3, a22=a2‧a2=5,    a13=a31=a3‧a1=1,a32=a3‧a2=2.®   b1=a1=[1,1,0],b2為由[2,a1],[3,a2]組成之2階行列式. 由行列式之運算規則,得 b2=2a2-3a1=2[1,2,0]-3[1,1,0]=[-1,1,0],    cb3為由[2,3,a1],[3,5,a2],[1,2,a2]組成之3階行列式. 由行列式之運算規則,得  cb3=a1-a2+a3=[1,1,0]-[1,2,0]+[0,1,2]=[0,0,2] =2[0,0,1]=2b3.取c=2.®b3=[0,0,1]. 即得{b1=[1,1,0],b2=[-1,1,0],b3=[0,0,1]} 為{{a1, a2, a3}}之正交基底. 解二:由Gram-Schmidt基底向量之正交化步骤                       設a1=[1,1,0], a2=[1,2,0], a3=[0,1,2].  b1=a1=[1,1,0],b11=a1‧a1=2, P21=a2‧b1=3.® cb2=a2-(p21／b11)b1=[1,2,0]-(3／2)[1,1,0]  =[-1／2,1／2,0]=-(1／2)[-1,1,0]. 取 c=1／2.® b2=[-1,1,0].b22=b2‧b2=2. P31=a3‧b1=1, P32=a3‧b2=1.® cb3=a3-(p31／b11)b1-(p32／b22)b2 =[0,1,2]-(1／2)[1,1,0]-(1／2)[-1,1,0]=[0,0,2]. 取c=2.®b3=[0,0,1].  即得{b1=[1,1,0],b2=[-1,1,0],b3=[0,0,1]} 為{{a1, a2, a3}}之正交基底. 例2.   令a=[a1,a2,a3,a4],b=[b1,b2,b3,b4]為布於複數域之 4維內積向量空間中之向量:  定義 a．b=a1b¢1+a2b¢2+a3b¢3+a4b¢4為二向量a, b之內積. 令a1=[-1,0,i,1], a2=[1,i,0,1+i], a3=[-i,0,i,0]. 求{a1,a2,a3}之正交基底. 解一:由基底向量之自然正交化   由a1=[-1,0,i,1], a2=[1,i,0,1+i], a3=[-i,0,i,0]. 得 a11=a1‧a1=3,  a12=a1‧a2=-i, a21=i, a22=a2‧a2=4,    a13=a1‧a3=1-i,a31=a3‧a1=1+i,a23=a2‧a3=i. a32=a3‧a2=-i.a33=a3‧a3=2.® b1=a1, b1‧b1=b11=3, b2為由[3, a1],[i,a2]組成之2階行列式. 由行列式之運算規則,得 b2=3a2-ia1=3[1,i,0,1+i]-i[-1,0,i,1]   =[3+i,3i,1,3+2i],   b2‧b2=33.                       b3為由[3,-i,a1],[i,4, a2],[1+i,-i, a3]組成之3階行列式. 由行列式之運算規則,得 b3=(-3-4i)a1+(1+2i)a2+11a3 =(-3-4i)[-1,0,i,1]+(1+2i)[1,i,0,1+i]+11[-i,0,i,0] =[4-5i,-2+i,4+8i,-4-i], b3‧b3=b33=143. 即得{b1, b2, b3}为{a1, a2,a3}之正交基底.且 b1‧b1+b2‧b2+b3‧b3=(b1+b2+b3)‧(b1+b2+b3)=179. 解二:由Gram-Schmidt基底向量之正交化步骤   由a1=[-1,0,i,1], a2=[1,i,0,1+i],a3=[-i,0,i,0]. 得 b1=a1=[-1,0,i,1],b11=a1‧a1=3, P21=a2‧b1=i. cb2=a2-(p21／b11)b1=[1,i,0,1+i]-(i／3)[-1,0,i,1] =[1+(i／3),i,(1／3),1+(2i／3)]. cb2=[1+(i／3),i,(1／3),1+(2i／3)]. 取c=1／3.®b2=[3+i,3i,1,3+2i].b22=b2‧b2=33, P31=a3‧b1=1+i, P32=a3‧b2=-1-2i,® (p31／b11)=(1+i)／3),p32／b22)=(-1-2i)／33).®   cb3=a3-(p31／b11)b1-(p32／b22)b2  =[-i,0,i,0]-(1+i)／3)[-1,0,i,1]              -(-1-2i)／33)[3+i,3i,1,3+2i].  取c=1／33.® b3=33[-i,0,i,0]-11(1+i)[-1,0,i,1]+(1+2i) [3+i,3i,1,3+2i] =[12-15i,-6+3i,12+24i,-12-3i]. b33=b3‧b3=1287. b1+b2+b3=[14-14i,-6+6i,13+25i,-8-i]. 即得{b1, b2, b3}为{a1, a2,a3}之正交基底.且  b1‧b1+b2‧b2+b3‧b3=(b1+b2+b3)‧(b1+b2+b3)=1323. 例3.譯自基礎線性代數教科書      於多項式內積向量空間P(x)中:P=p(x),Q=p(x),  定義P‧Q為二向量P, Q之內積. P‧Q=p(x)q(x)dx(-1®1)為從-1到1之定積分. 設a1=1,a2=x,a3=x2. 試證{a1,a2,a3}為線性無關.並求{a1,a2,a3}之正交基底.  解一:由基底向量之自然正交化    a11=a1‧a1=dx(-1®1)=2, a21=a12=a1‧a2=xdx(-1®1)=0,  a22=a2‧a2=a13=a1‧a3=a31=a3‧a1=x2dx(-1®1)=2／3,  a23=a2‧a3=a32=a3‧a2=x3dx(-1®1)=0, a33=a3‧a3=x4dx(-1®1)=2／5.® b1=a1=1, b1‧b1=b11=2, cb2為由[2,1],[0, x]組成之2階行列式. 由行列式之運算規則,得 cb2=2a2=2x,取c=2.®b2=x,b‧b2=b22=(2／3). cb3為由[2,0,1],[0,2／3,x],[2／3,0,x2]組成之3階 行列式. 由行列式之運算規則,得 cb3=(4／9)(3x2-1).取c=4／9.®b3=3x2-1. 即得{b1, b2, b3}为{a1, a2,a3}之正交基底.且 b1‧b1+b2‧b2+b3‧b3=(b1+b2+b3)‧(b1+b2+b3)=64／15. 解二:由Gram-Schmidt基底向量之正交化步骤 b1=a1=1,b11=a1‧a1=dx(-1®1)=2,   P21=a2‧b1=xdx(-1®1)=0.  b2=a2-(P21／b11)b1=a2-0=x,   b22=b2‧b2=x2dx(-1®1)=2／3. ®P31=a3‧b1=x2dx(-1®1)=2／3,   P32=a3‧b2=x3dx(-1®1)=0.  ®cb3=a3-(p31／b11)b1-(p32／b22)b2=x2-(1／3). 取c=(1／3).®b3=3x2-1,   b3‧b3=b33=(3x2-1)2dx(-1®1)= 8／5. 即得{b1=1,b2=x,b3=3x2-1}為{1,x,x2}之正交基底.且 b1‧b1+b2‧b2+b3‧b3=(b1+b2+b3)‧(b1+b2+b3)=64／15. 例4.譯自基礎線性代數教科書      於多項式內積向量空間P(x)中:P=p(x),Q=p(x), 定義P‧Q為二向量P, Q之內積.                     P‧Q=xp(x)q(x)dx(0®1)為從0到1之定積分. 設a1=1,a2=x,a3=x2.求{a1,a2,a3}之正交基底. 解一:由基底向量之自然正交化  a11=a1‧a1=xdx(0®1)=(1／2). a21=a12=a1‧a2=x2dx(0®1)=(1／3). a22=a2‧a2=a13=a1‧a3=a31=a3‧a1=x3dx(0®1)= (1／4).  a23=a2‧a3=a32=a3‧a2=x4dx(0®1)=(1／5 ),                      a33=a3‧a3=x5dx(0®1)=(1／6).® A3為由[a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]組成 之3階行列式. [a11,a12,a13]=[1／2),(1／3),(1／4)]=表A3之第1列, [a21,a22,a23]=[1／3),(1／4),(1／5)]=表A3之第2列, [a31,a32,a33]=[1／4),(1／5),(1／6)]=表A3之第3列, 由行列式之運算規則,  得A3 =1／432000 >0. 即得{a1,a2,a3}為線性無關.且 b1=a1=1, cb2為由[(1／2),1],[(1／3), x]組成之2階行列式. 由行列式之運算規則,得cb2=(1／2)x-(1／3),   取c=1／6.®b2=3x-2. cb3為由[a11,a12,a1],[a21,a22,a2],[a31,a32,a3]  組成之3階行列式. [a11,a12, a1]=[(1／2),(1／3),1]表cb3之第1列, [a21,a22, a2]=[(1／3),(1／4),x]表cb3之第2列, [a31,a32, a3]=[(1／4),(1／5),x2]表cb3之第3列, 由行列式之運算規則,得cb3=(1／720)(10x2-12x+3),  取c=(1／720).® b3=10x2-12x+3.即得{1,3x-2,10x2-12x+3}为{1,x,x2}  之正交基底. 且b1‧b1=xdx(0®1)=(1／2),      b2‧b2=x(3x-2)2dx(0®1)=(1／4), b3‧b3=x(10x2-12x+3)2dx(0®1)=(1／6). (b1+b2+b3)‧(b1+b2+b3)=x(10x2-9x+2)2dx(0®1)=(11／12).® b1‧b1+b2‧b2+b3‧b3=(b1+b2+b3)‧(b1+b2+b3)=(11／12). 解:由Gram-Schmidt基底向量之正交化步骤 b1=a1=1,b11=xdx(0®1)=(1／2),  P21=a2‧b1=x2dx(0®1)=(1／3).® cb2=a2-(P21／b11)b1=x-(2／3),   取c=(1／3).®b2=3x-2. b22=b2‧b2=x(3x-2)2dx(0®1)=(1／4), P31=a3‧b1=x3dx(0®1)=(1／4),            P32=a3‧b2=x3(3x-2)dx(0®1)=(1／10).  ®cb3=a3-(P31／b11)b1-(P31／b22)b2 =x2-(1／2)-(2／5)(3x-2), 取c=(1／10).®b3=10x2-12x+3. 即得{b1=1, b2=3x-2, b3=10x2-12x+3}為{1,x,x2}之正交基底. b33=b3‧b3=x(10x2-12x+3)2dx(0®1) =(100x5-240x4+204x3-72x2+9x)dx(0®1)=(1／6).且 b1‧b1+b2‧b2+b3‧b3=(b1+b2+b3)‧(b1+b2+b3)=(11／12).