用鄧天錫顺其自然的正交化向量终结  

                      Gram-Schmidt长久以来正交化的繁琐步骤

                                  作者: 遠東科技大學 鄧岱松

克紹箕裘,子承父業..鄧天錫基底向量正交化定理:

    設{a₁,…,a_n}為布於複數域內積向量空間中n個線性無關之向量,

簡稱基底向量.

令a_ij=a_i‧a_j表a_i,a_j之內積,a_ji=a_j‧a_i=a¢_ij表a_ij之共軛複數.

a_ii=a_i‧a_i>0,令b₁=a₁, b₂表2階向量行列式,

[a₁₁, a₁]表b₂之第1列, [a₂₁, a₂]表b₂之第2列,…,

b_n表n階向量行列式,[a₁₁,a₁₂,…,a_1(n-1),a₁]表b_n之第1列,…,

[a_n1,a_n2,…,a_n(n-1),a_n]表b_n之第n列.由行列式之運算規則

b₁‧b₁=a₁₁>0,b₂‧b₁=0,b₂‧b₂>0,…,  

b_n‧b₁=…=b_n‧b_n-1=0, b_n‧b_n>0.

而得{b₁, b₂}為基底向量{a₁,a₂}之正交基底,…,

{b₁, b₂,…, b_n}為基底向量{a₁,a₂,…,a_n}之正交基底.

由於鄧天錫之基底向量正交化定理本乎自然,一以貫之,

其證明渾然天成,故稱之為自然正交化定理.

相較於(Gram-Schmidt¢s 合力創設的orthogonalization 正交化),

既難懂又難學.長久以來,欺世盜名.瓦釜雷鳴,莫此為甚.

竟以步驟混充證明.謹代為證明如下:

 設{a₁,…,a_n}為布於複數域內積向量空間之一組基底向量.令b₁=a₁,

假定{b₁,…,b_k-1}為{a₁,…,a_k-1}之正交基底,1<k£n.

則b_ii=b_i‧b_i>0,且當i¹j,b_ij=b_i‧b_j=0.I£i<k, I£j<k,.

令P_ik=b_i‧a_k,P_ki=a_k‧b_i,I£i<k, I£j<k.

b_k=a_k-{(P_k1／b₁₁)b₁+(P_k2／b₂₂) b₂+…+

       (P_k(k-1)／b_(k-1)(k-1))b_(k-1)}_.

則{b₁,…,b_(k-1),b_k}為{a₁,…,a_(k-1),a_k}之正交基底

證:  

 令cb_k表k階向量行列式,[b₁₁,…,0,b₁]表cb_k之第1列,…,

 [0,…,b _(k-1)(k-1),b_(k-1)]表cb_k之第(k-1)列,…,

 [P_ki,…, P_{k (k-1)},a_k]表cb_k之第k列,1<k£n.c¹0,c為常數.

 P_ki=P¢_ik為P_ik之共軛複數.由於b₁=a₁,   

 且{b₁,…,b_(k-1)}為{a₁,…,a_(k-1)}之正交基底,1<k£n.

{a₁,…,a_(k-1),a_k}為線性無關,  

則{b₁,…,b_(k-1),a_k}亦必為線性無關.®

cb_k‧a_k=B_k表k階數字行列式,                                    

[b₁₁,…,0, P_1k]表cb_k‧a_k=B_k之第1列,…

 [0,…,b _(k-1)(k-1),P_(k-1)k]表cb_k‧a_k=B_k之第(k-1)列,…,

 [P_ki,…, P_{k (k-1)},a_kk]表cb_k‧a_k=B_k之第k列.

 cb_k‧b_i表k階數字行列式,[b₁₁,…,0, b_1i]表cb_k‧b_i之第1列,…,

[0,…, b _(k-1)(k-1), b_(k-1)i]表cb_k‧b_i之第(k-1)列,

 [P_ki,…, P_k(k-1), P _ki]表cb_k‧b_i之第k列,

 且b_ii=b_i‧b_i>0,b_ij=b_i‧b_j=0,i¹j,"1£i<k,1£j<k.

 cb_k‧b_i=0,1£i<k.®b_k‧b_i=0,即得證

 {b₁,…,b_(k-1),b_k}為{a₁,…,a_(k-1),a_k}之正交基底.

cb_k=B_1kb₁+B_2kb₂+…+B_k-1kb_k-1+B_kka_k

B_ik=(-1)^i+k△_ik為行列式cb_k或B_k在第i列第k行的餘因式.

△_ik為(k-1)階行列式,[b₁₁,0,…,0,0]表△_ik之第1列, 

[0,b₂₂,0,…,0]表△_ik之第2列,… 

[0,0,…,b _(i-1)(i-1),…0]表△_ik之第(i-1)列,

[0,0,…,b _(i+1)(i+1),…0]表△_ik之第i列, ……     

[0,0,…,0,0,0,…b _(k-1)(k-1)]表△_ik之第(k-2)列,

[P_k1,P_k2,…,P_k(i-1),P_ki,P_k(i+1),…P_k(k-1)]表△_ik之第(k-1)列,

由行列式之運算規則,得

△_ik=(-1)^(k-1)+i P_kib₁₁…b_(i-1)(i-1)b_(i+1)(i+1)…

      b_(k-1)(k-1),

B_ik=(-1)^i+k△_ik=(-1)^i+k(-1)^(k-1)+i                                     

P_kib₁₁…b_(i-1)(i-1)b_(i+1)(i+1)…b_(k-1)(k-1)

=-b₁₁…b_(i-1)(i-1)P_kib_(i+1)(i+1)…b_(k-1)(k-1) 

_{=-(Pki Bkk／bii),1£i<k.}

cb_k=B_1kb₁+B_2kb₂+…+B_k-1kb_k-1+B_kka_k,選取c=B_kk>0.®

b_k=B_1kb₁+B_2kb₂+…+B_k-1kb_k-1+a_k=a_k-(P_ki b_i／b_ii).

即得證{b₁,…,b_(k-1),b_k}為{a₁,…,a_(k-1),a_k}之正交基底.

是謂Gram-Schmidt¢s正交化基底的步驟.

例1.

  設a₁=[1,1,0], a₂=[1,2,0], a₃=[0,1,2].  

求{a₁, a₂, a₃}之正交基底.

解一:由基底向量之自然正交化

a₁₁=a₁‧a₁=2,a₂₁=a₁₂=a₁‧a₂=3, a₂₂=a₂‧a₂=5,   

a₁₃=a₃₁=a₃‧a₁=1,a₃₂=a₃‧a₂=2.®  

b₁=a₁=[1,1,0],b₂為由[2,a₁],[3,a₂]組成之2階行列式.