從鄧天錫相鄰二質數的間隙定理 看張益唐質數間的有限距離

             作者: 國立臺灣大學數學系 鄧天錫

相鄰二質數的間隙定理

    設 p=2b+1為奇數,p³3.令F(x)=p！+2x+1.

p 為質數時,令 X_p為從2到 p所有質數的連乘積,F(x)=X_p+2x+1.

則 F(1),F(2),F(3),F(4),…,F(b)為非質數的連續奇數.

取 P為 P<F(1)中之最大質數;

如果存在 Q 為 F(b)<Q 中之最小質數.P<F(1)<F(b)<Q.

則此相鄰二質數P,Q 的間隙中至少有b個非質數的連續奇數

F(1),F(2),…,F(b)及(b+1)個連續偶數.

證:

由所設p=2b+1為奇數,p³3.令F(x)=p！+2x+1.得

F(1)=p！+3.®3½F(1); F(2)=p！+5.®5½F(2);

F(3)=p！+7.®7½F(3); F(4)=p！+9.®3½F(4);…;

F(b)=p！+p.®p½F(b),且 2½p！.

p 為質數時,令 X_p 為從 2 到 p 所有質數的連乘積,

F(x)=X_p+2x+1.得F(1)=X_p+3,3½X_p.®3½F(1);

F(2)=X_p+5,5½X_p.®5½F(2);F(3)=X_p+7,7½X_p.®7½F(3);

F(4)=X_p+9,3½X_p.®3½F(4);…;

F(b)=X_p+2b+1=X_p+p,p½X_p.®p½F(b),且 2½X_p.

即得證 F(1),F(2),F(3),F(4),…,F(b)為非質數的連續奇數.

取 P 為 P<F(1)中之最大質數;

如果存在 Q 為 F(b)<Q 中之最小質數.

則此相鄰二質數 P,Q 的間隙中至少有 b 個非質數的連續奇數

及(b+1)個連續偶數.Q-P³2b+2.

例1. p=2b+1=3,令F(x)=3！+2x+1=2x+7.®

    P=F(0)=7 為質數, F(1)=9=3²,F(2)=11為質數.

    即得相鄰二質數 P=7,Q=11 的間隙中 9 為唯一

   非質數的奇數及2 個連續偶數 8,10.

例2. p=2b+1=5,令F(x)=5！+2x+1=2x+121.®

    P=F(-4)=113 為質數,  F(-3)=115=5(23),

    F(-2)=117=3²(13),F(-1)=119=7(17),

    F(0)=121=(11)²,F(1)=123=3(41),

    F(2)=125=5³,F(3)=127為質數.

       即得相鄰二質數P=113,Q=127的間隙中有6 個非質數的

       連續奇數F(-3),F(-2),F(-1),F(-1),F(0),F(1),

      F(2)及7個連續偶數114,116,118,120,122,124,126.

  p=2b+1=5 為質數,令 X_p=2(3)(5),F(x)=X_p+2x+1=2x+31.

   ®P=F(0)=31,  F(1)=33,F(2)=35,F(3)=37=Q.

 即得相鄰二質數 P=31,Q=37 的間隙中有2 個非質數的

 連續奇數 F(1),F(2) 及3 個連續偶數 32,34,36.

例3. p=2b+1=7為質數,令 X_p=2(3)(5)(7),

   F(x)=X_p+2x+1=2x+211.®P=F(0)=211,F(1)=213,

   F(2)=215,F(3)=217,F(4)=219,F(5)=221=13(17),

   F(6)=223=Q.即得相鄰二質數P=211,Q=223 的間隙中

     有 5 個非質數的連續奇數F(1),F(2),F(3),F(4),F(5)

    及 6 個連續偶數 212,214,216,218,220,222.

 例4. p=2b+1=11為質數.

   令 X_p=2(3)(5)(7)(11),F(x)=X_p+2x+1=2x+2311.®

  P=F(0)=2311,F(1)=2313=3²(257),F(2)=2315=5(463),

  F(3)=2317=7(331),F(4)=2319=3(773),

  F(5)=2321=11(211),F(6)=2323=23(101),

  F(7)=2325=3(5²)(31),F(8)=2327=13(179),

  F(9)=2329=17(137),F(10)=2331=3²(7)(37),

 即得相鄰二質數 P=2311,Q=2333 的間隙中有10 個非質數的

 連續奇數 F(1),F(2),F(3),F(4),F(5),F(6),F(7),F(8),

 F(9),F(10)及11個連續偶數 2312,2314,2316,2318,

  2320,2322,2324,2326,2328,2330,2332.

例5. p=2b+1=13為質數.令 X_p=2(3)(5)(7)(11)(13),

   F(x)=X_p+2x+1=2x+30031.®P=F(-1)=30029,

   F(0)=30031=59(509),F(1)=30033=3²(47)(71),

   F(2)=30035=5(6007),F(3)=30037=7²(613),

   F(4)=30039=3(17)(19)(31),F(5)=30041=11(2731),

   F(6)=30043=13(2311),F(7)=30045=3(5)(2003),

   F(8)=30047=Q.即得相鄰二質數 P=30029,Q=30047 的

    間隙中有 8 個非質數的連續奇數 F(0),F(1),F(2),F(3),

   F(4),F(5),F(6),F(7),及 9 個連續偶數 30030,30032,

     30034,30036,30038,30040,30042,30044,30046.

對比於張益唐質數間的有限距離小於 7 千萬.因此當 p=2b+1

為大於 7 千萬的奇數,令 F(x)=p！+2x+1.

即得 F(1),F(2),F(3),F(4),…,F(b)為非質數的連續奇數.

取 P 為 P<F(1) 中之最大質數:

(i)如果 Q 為 F(b)<Q 中之最小質數.

    則 P,Q 為相鄰二質數.Q-P³2b+2>7(10)⁷.

(ii)如果F(b)<Q 中之最小質數不存在.則大於 F(1)之奇數

      皆不為質數.取 Q<P<F(1),Q 為小於 P 之最大質數.

   ®P-Q 仍有可能為小於 7 千萬的偶數.

為此本人歷經了近七年的探索與嚐試及數十百次的驚喜與挫敗,

終於得證了一個「特殊的質數序列 A_n」可為任意大的質數.

並由此導出「廣義孿生質數的存在性.」而得質數A₁=3,

A₂=11, A₃=59,A₄=1019, A₅=262139, A₆=17179869179,….

由於 p=17179869179=2b+1 為質數,b=8589934589.

令 X_p 為從 2 到 p 所有質數的連乘積.F(x)=X_p+2x+1.

取 P 為  P<F(1)中之最大質數;Q 為 F(b)<Q 中之最小質數.

則 P,Q 為相鄰二質數,Q-P³2b+2 >17179869180 且大於

171 個七千萬.顯然推翻了張益唐質數間的有限距離小於 7 千萬.

根據本人首創質數分佈規則,一次便可列出任意多個連續整數中

的質數序列,根本不須演算.像是:

1.閉區間[1,10000]中質數的序列集合為

{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 ,41,43,47,53,59,61,…,

  9907,9923,9929,9931,9941,9949,9967,9973}約有1229個質數.

 p=2b+1=9973,b=4986,X_p 為 2 到 9973 的連乘積.

 F(x)=X_p+2x+1.取 P為小於 F(1) 之最大質數;

 Q 為大於 F(4986) 之最小質數.®

 P,Q為相鄰二質數,Q-P³9974.

2.閉區間[10001,50000]中質數的序列集合為

{10007,10009,10037,10039,10061,10067,10069,10079,……,

  49939,49943,49957,49991,49993,49999}約有3855個質數.

 p=2b+1=49999,b=24996,X_p 為 2 到 49999的連乘積.

 取P為小於F(1)之最大質數;Q為大於F(24999)之最小質數.

 則 P,Q為相鄰二質數.Q-P³50000.

3.閉區間[50001,100000]中質數的序列集合為

{50021,50023,50033,50047,50051,50053,50069,50077,……,

 99923,99929,99961,99971,99989,99991}約有4460個質數.

 p=2b+1=99991,b=49995,X_p 為 2 到 99991的連乘積.

 F(x)=X_p+2x+1.P為小於 F(1)之最大質數;

 Q為大於F(49995)之最小質數.

 則 P,Q 為相鄰二質數.Q-P³99992.

4.求閉區間[100001,150000]中質數的序列集合為

 {100003,100019,100043,100049,100057,100069,100103,……,

 149921,149939,149953,149969,149971,149993}約有4240個質數.

 取 p=2b+1=149993,b=74996,X_p 為 2 到149993 的連乘積.

 F(x)=X_p+2x+1.P 為小於 F(1) 之最大質數;

 Q 為大於 F(74996)之最小質數.

 則P,Q 為相鄰二質數.Q-P³149994.

 但閉區間 [1,150000]中最大間隙的相鄰二質數

 為「143053-142981=72.」「31469-31397=72.」

 比 Q-P³149994小太多了.

 如此順其自然,一以貫之,可得更多更大的質數序列而永無止境.

由於張益唐所云質數間的有限距離小於 7 千萬.被形容為

「破解千古的數學難題」,震驚國際數學界,一夕暴紅.

據稱已經過了一億或百億次的測試.相較於 X_p 為 2 到149993

所有質數的連乘積,F(x)=X_p+2x+1.或是

F(x)=(149993)！+2x+1.那微乎其微百億次的測試.

又豈能確定質數間的有限距離小於7 千萬.無怪乎該文的作者也

認為估計粗略,應該比 7 千萬更小.於是數學家們便以該文為基礎,

很快就將質數差距繼續縮小,隨即網路上議論紛紛,諸如:

「最初的七千萬,怎麼瞬間就縮小到25萬了.」

以及「這個證明跟找夠大的質數有沒有説明！」…等不一而足.

由於 p=2b+1,F(x)=p！+2x+1,P為小於F(1)之最大質數;

Q 為大於F(b)之最小質數.Q-P³2b+2,p可為任意大的奇數.

®相鄰二質數的間隙可為任意大的正整數.又何須以「7 千萬」

為基礎,繼續縮小.豈不是愈陷愈深,愈描愈黑.又據網路報導:

「質數在數線的起點非常多,但隨著數字變大,出現機率便會下降,

例如 1到10之中,有 40%都是質數（2、3、5、7）.但在

所有10位數的數字中卻只有4%是質數.過去一百多年來,數學家已經

研究出質數減少的平均趨勢：在很大的數字中,質數之間的差大約是

位數的2.3倍.也就是說,在100位數的數字中,質數與質數之間的差

大約為 230.」

然而根據本人首創的相鄰二質數的間隙定理:

p=17179869179=2b+1為質數.X_p 為從 2 到 p 所有質數的連乘積.