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| 2019/04/12 13:07:44瀏覽686｜回應0｜推薦0 | |
由三角不等式求三角形面積的快速方法 作者: 遠東科技大學 鄧岱松 由三角不等式導出三角形面積的快速方法 設 a=(BC),b=(AC),c=(AB)爲三角形△ABC三邊的長度, 則由三角不等式:½b-c½<a<b+c,(b-c)2<a2<(b+c)2.得 [(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]=16D2,D爲三角形△ABC的面積. 證: 令 A,B,C分別爲 a=(BC),b=(AC),c=(AB)所對應三角形 △ABC之內角,D爲三角形△ABC 的面積.由三角公式: 2D=bcsinA,得4D2=b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A), 及由 2bccosA=b2+c2-a2,得 16D2=4b2c2-4b2c2cos2A=4b2c2-(2bccosA)2 =4b2c2-(b2+c2-a2)2=(2bc)2-(b2+c2-a2)2 =(2bc+b2+c2-a2)(2bc-b2-c2+a2) =[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]>0. 但如果三角不等式½b-c½<a<b+c不成立, 則a,b,c不可能為三角形的三邊.因此由 16D2=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]求D是最簡單不過的事, 又何須 令 a+b+c=2s.®b+c-a=2(s-a), c+a-b=2(s-b),a+b-c=2(s-c).而得 16D2=(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c) =16s(s-c)(s-b)(s-a), D2=s(s-c)(s-b)(s-a), D=Ös(s-a)(s-b)(s-c),便是那鼎鼎大名的海倫公式了. 茲舉例以比較三角不等式與海倫公式之解題效益如下: 例1.設a=3,b=5,c=7爲三角形三邊的長度,求此三角形的面積D. 解 由三角不等式½b-c½<a<b+c,得2<3<12.® 16D2=(12+3)(12-3)(3+2)(3-2)=15(9)(5)(1), 4D=15Ö3,D= 15Ö3/4. 由海倫公式, 令 s=(a+b+c)/2=15/2, s-a= 9/2, s-b=5/2, s-c=1/2, D =Ös(s-a)(s-b)(s-c), D=Ö(15/2)(9/2)(5/2)(1/2)=15Ö3/4.稍繁 例2.設 a=4Ö3+5,b=4Ö3-5,c=5Ö6 爲三角形三邊的長度, 求此三角形的面積D. 解 由三角不等式(a-b)2<c2<(a+b)2,得100<150<192.® 16D2=(192-150)(150-100)=42(50),4D2=21(25), 2D=5Ö21,D= 5Ö21/2. 由海倫公式,令s=(a+b+c)/2=(8Ö3+5Ö6)/2.® s-a=(8Ö3+5Ö6)/2-(4Ö3+5)=(5Ö6-10)/2, s-b=(8Ö3+5Ö6)/2-(4Ö3-5)=(5Ö6+10)/2, s-c=(8Ö3+5Ö6)/2-5Ö6=(8Ö3-5Ö6)/2, D=Ös(s-a)(s-b)(s-c) =Ö[(8Ö3+5Ö6)/2][(5Ö6-10)/2][(5Ö6+10)/2][(8Ö3-5Ö6)/2] =Ö(8Ö3+5Ö6)(8Ö3-5Ö6)(5Ö6-10)(5Ö6+10)/16] =Ö(192-150)(150-100)/4=Ö(42)(50)/4=5Ö(21)/2 顯然是愈來愈繁了. 名題鑑賞 設a,b,c爲任何實數,且bc¹0.試證 Ö(a2+b2-ab),Ö(b2+c2),Ö(c2+a2+ac)可爲三角形之三邊, 並求此三角形的面積D. 「證與解」 由 a2+b2-ab =(a-b/2)2+3b2/4, a2+ac+c2=(a+ c/2)2+3c2/4,可知對於任何實數a,b,c, bc¹0.恒有a2-ab+b2>0,b2+c2>0,a2+ac+c2>0. 令 p=Ö(a2+b2-ab),q=Ö(b2+c2),r=Ö(c2+a2+ac).® p>0,q>0,r>0,p2=a2+b2-ab>0,q2=b2+c2>0, r2=c2+a2+ac>0.® (q+r)2-p2=2qr+q2+r2-p2=2qr+(b+c)a+2c2, p2-(q-r)2=2qr-(q2+r2-p2)=2qr-[(b+c)a+2c2]. [(q+r)2-p2][p2-(q-r)2]=4q2r2-[(b+c)a+2c2]2 =4(b2+c2)(a2+ca+c2)-[(b+c)a+2c2]2 =(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2 爲 a 的二次式. (3b2-2bc+3c2)>0.由判別式 d=[2bc(b-c)]2-4b2c2(3b2-2bc+3c2)=-8b2c2(b2+c2)<0, 可知 [(q+r)2-p2][p2-(q-r)2] =(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2>0, 且q>0,r>0.®(q-r)2<(q+r)2,(q-r)2<p2<(q+r)2. 即得證:對於任何實數a,b,c,且當bc¹0 時, p=Ö(a2+b2-ab),q=Ö(b2+c2),r=Ö(c2+a2+ac) 可爲三角形的三邊.並由三角不等式 可知 16D2=[(q+r)2-p2][p2-(q-r)2] =(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2>0. 4D=Ö[(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2], D=Ö[(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2]/4 便是此三角形的面積. 更由此得知對於a,b,c爲任何實數,且當bc¹0 時, 下列不等式恒成立: 1. ïÖ(a2+b2-ab)-Ö(b2+c2)ï<Ö(c2+a2+ac). 2. ïÖ(a2+b2-ab)-Ö(c2+a2+ac)ï<Ö(b2+c2). 3. ïÖ(b2+c2)-Ö(c2+a2+ac)ï<Ö(a2+b2-ab). 4. Ö(a2+b2-ab)+Ö(b2+c2)>Ö(c2+a2+ac). 5. Ö(a2+b2-ab)+Ö(c2+a2+ac)>Ö(b2+c2). 6. Ö(b2+c2)+Ö(c2+a2+ac)>Ö(a2+b2-ab). 由海倫公式. 令 Ö(a2+b2-ab)+Ö(b2+c2)+Ö(c2+a2+ac)=2s.® D2=s(s-Ö(c2+a2+ac)(s-Ö(b2+c2)(s-Ö(a2+b2-ab). 實在是不勝其煩.因此求三角形的面積D.只有回到 p=Ö(a2+b2-ab), q=Ö(b2+c2), r=Ö(c2+a2+ac). (p-q)2<r2<(p+q)2.® 16D2=[(q+r)2-p2][p2-(q-r)2] =(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2>0. 足見好的方法應當是順其自然一以貫之,不應有繁瑣的分數及根數演算. 隨附多年前一則高中聯考數學試題. 「三角形三邊之長a:b:c=1:3:5,試求三高之比.」 剖析: 根據三角形不等式:取 a=1,b=3,c=5. 由三角不等式½b-c½<a<b+c,得2<1<8而與2>1 互相矛盾. 故知 a:b:c=1:3:5之三角形,根本不存在, 又何來三高之比.
看完了,看懂了.一經比對,立見真章.試將此稿投寄到數學傳播. 且看結局如何. 《數學傳播季刊》審稿意見表 稿件編號:4605 送審日期:2019年3月26日. 收稿日期:2019年3月20日. 稿題: 由三角不等式導出三角形面積的快速方法 審核結果:退稿 審核意見如下: 所謂的海龍公式(Heron¢s formula)又譯希羅公式, 一個証明的方式正如作者所提出的辦法,請參見網路“海龍公式” 標題: MM4605-數學傳播季刊-稿件 「由三角不等式導出三角形面積的快速方法」 謝謝您的支持與愛護. 鄧先生 大鑒: 稿件號碼:4605 稿件標題: 由三角不等式導出三角形面積的快速方法 隨信附上貴大作的審稿意件,請查收. 謹以此信通知,再次謝謝您對本刊的支持與愛護. 敬祝 文安. 中研院數學所 數學傳播編輯部 主編 梁惠禎 助理 黃馨霈 王靜雯 敬上 TEL:+886-2-23685999#382 FAX:+886-2-23688121 茲將審核意見剖析如下 「所謂的海龍公式 (Heron¢s formula) 又譯希羅公式,」 因此可以不懂數學,但不可以不推崇海龍. 「一個証明的方式正如作者所提出的辦法,請參見網路“海龍公式”,」 當參見網路“海龍公式”時,但見歪歪斜斜密密麻麻的海龍公式 好幾百項,每項點閱人次約七八萬,雖然派頭十足,但卻找不到任何 一個証明的方式,因此切莫攀附作者所提出的辦法. 十多年前,我隨父親到祖居湖南掃墓祭祖,受邀到四處講演數學, 或三、五天,或個把月,最近的一次長達一年半,並在當地數學 老師的支持下成立了鄧天錫數學快易通推廣中心.電視及報章等 亦相繼報導.更譽之為快乐数学.因此求三角形面積的快速方法 迅速傳遍了神州大地.而這只是快樂數學的其中之一.因此與 海龍公式相繼罷黜的外國公式不知凡幾. 直到2008年大選前我隨父親回到台灣. 2015年 世界大学城的網路新增了一个视频邓天锡教授快乐数学. 但在發祥地的台灣反倒未能廣為流傳,身為創始人的兒子, 業紹箕裘,責無旁貸.為此本人嚐試把 「由三角不等式導出三角形面積的快速方法」投寄本土期刊 以與 Heron 公式一決高下,沒想到鼎鼎大名的 Heron 公式, 竟然如此不堪一擊,這教那些徒子徒孫情何以堪.因此,一怒之下, 退稿.學術戒嚴,愚不可及.世界潮流,浩浩蕩蕩.像這樣的退稿, 只足以暴露期刊的無才無格.儘管求三角形面積的快速方法 非止一樁,但最不中用的便是那海龍公式.
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