質數如蒼穹,間隙無限量. 終結洋迷信,破解大懸案.

                    作者: 鄧天錫  國立臺灣大學數學系畢業.

                   嘉義市和平路261之1號9F-4.郵編:600  

    得知「在2013年7月間媒體報導了華裔數學家張益唐的

（質數之間的有限距離）《Bounded Gaps between Primes》,

震驚國際數學界,被形容為「破解千古的數學難題」,一夕暴紅,

昨天獲頒華人數學界的卓越成就獎.」的消息後,為了一探究竟,我

陸陸續續蒐集到國際間對質數問題探討的資料.

謹就近年來之網路訊息剖析如下:

一.「黎曼在一篇一八五九年發表的短文中提出一個和質數分布

有關的猜想,後世稱為黎曼假設,公認是當今最難解的數學懸案之一.

兩年前,克萊數學研究所懸賞百萬美元,徵求黎曼假設的證明或反例.

有辦法破解的人不但能一夕成名,也能致富.數論是一門有兩千五百

多年歷史的科目.黎曼在一篇不到十頁,討論質數分布的論文裡,

提出他的假設.這篇論文是數論發展上最重要的論文之一.質數是

所有自然數的原子.頭幾個質數是 2、3、5、7、11 和 13,

很容易檢驗,但是究竟那些數是質數,並沒有明顯的規則.

判斷一個數是不是質數,目前沒有簡單的算法。…」

顯見得質數間隙的有限距離與克萊數學研究所懸賞百萬美元

所徵求的質數分佈的 明顯規則根本是南轅北轍.

只是有辦法破解的人,並不是為了成名致富.     

 依據本人不到兩頁所創設的定理,完全無須篩選,立即列出開區間

(3249,3481)中,總共有30個數: 3251,…,3469.其中最大間隙的相鄰二質數

是 3271, 3299,間隙是28.此一間隙也是從1 到3721中所有相鄰二質數的

最大間隙. 進而輕而易舉地得到 3273=3(1091),…, 3297=3(7)(157)

為相鄰二質數3271,3299 間隙中奇數之完全因數分解,

其中大於53 的因數必為質數;

3272=2³(409),…,3298=2(17)(97)為相鄰二質數3271,3299間隙中偶數

之完全因數分解. 其中大於53 的因數必為質數. 還可以把開區間

(3249,3481) 中其餘非質數的完全因數分解一併完成. 比起一般方法

快逾百倍亦不足為奇, 且兼具有自動堪察錯誤的功能,極不容易出錯.

而質數的明顯規則與質數的簡單算法不過是其中最簡單的項目.

不僅是黎曼猜想之始料未及, 更超出了克萊數學研究所的懸賞範圍.

區區百萬美元的懸賞,何足道哉！因此黎曼在一八五九年發表的

短文中提出一個和質數分佈有關的猜想,自此不應再是當今最難解

的數學懸案之一.

二. 網路上說「他的論文將質數對的差距由無限大縮小至七千萬,  

並且說這個上界的估算很粗略，應可以做到更小的上界。

以此論文為基礎, 數學家們很快就將差距繼續縮小, 截至2013年

12月8日  (2013-12-08)^[update]，質數對之差被縮小為 £ 272^[11]」.

隨即網路上議論紛紛,諸如:

「最初的7千萬,怎麼瞬間就縮小到25萬了？」

「如他的證明無誤,則是孿生素數猜想的重大進展！」以及

「這個證出來跟找接下來夠大的質數有沒有幫助！」…等不一而足.

譬若蒼穹, 銀河之外又是銀河, 那點點繁星的間隙又豈可限量？

縱使發現幾千億光年外一顆與地球一樣的行星,

只是對地球上的人類而言,未免太遙遠了.

是不是孿生素數猜想的重大進展,但看能不能更為快速簡單而有效地

處理下列問題:

於開區間 (3249,3481) 中, 求

1. 所有偶數不被{3,5,7,11,13,19,29,31}中之任何一數整除的

    完全因數分解.

2. 所有偶數被39 或被55 整除但不被7,19,23,29,41中之任何一數

    整除的完全因數分解.

3. 所有非質數的奇數中不被 {3,5,7,11,13,17,19,31} 之任何一數

    整除的完全因數分解.

4. 所有被15或被143整除但不被2,7,19,29,31,37,47整除的完全因數分解.

5. 所有被 37 或 65 整除的完全因數分解.

6. 依據本人所創設的不到兩頁的質數的分布規則,不僅可以井然有序

    快速簡單地寫出開區間 (3249,3721) 中所有質數的集合,

    而且還可以得到所有非質數的完全因數分解.

   試問還有必要再求那質數的間隙嗎？

 三. 又由網路記載 「EOMing: The first 30 prime gaps are: 06/26 01:23

  EOMing: 1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,6,4,2,4,6,6,2,6,4  06/26 01:23

  EOMing: 2,6,4,6,8,4,2,4,2,4,14SEE WIKI PRIME GAP 06/26 01:24」

  依照本人創設的快速方法,可知這前30個質數間隙是來自

以下的質數序列集合

 {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,

  79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,…}.

如果一定要先求質數的間隙,然後再求質數的序列集合,豈不是本末倒置了？

至於質數後的質數, 依照本人創設的方法, 一次至少列出 30 個質數.

 但是網路上卻報導說: 張益唐的髮絲步, 撞破了數學質數牆.

 只可惜, 髮絲不成步, 質數亦非牆, 引喻風馬牛, 馮京作馬凉.

四.「自由時報電子報  – 2014年7月5日 上午6:11. 百年來,數學家猜測,

   在無限大的兩個相鄰質數, 其差距應該是有限的, 但一直無法證明.

   有科學家註解:

「張益唐的研究把相鄰質數的差從大海撈針變成水池裡撈針.」

   中研院數理組院士林長壽盛讚:

「他發現了兩千年以來,數論最重要的工作之一！」

既然猜測一直無法證明,  又怎能確認百年來數學家會一致贊成 ,

任何註解與盛讚都不能夠取代嚴謹的證明.

   茲述其相鄰二質數的間隙定理如下:

                               相鄰二質數的間隙定理

   設 p = 2b + 1 為質數, p³3. 令X_p 為從 2 到 p 所有質數的倍數,

F(x)= X_p+ 2x+1³3. 則F(1),F(2),F(3),F(4),…,F(b)為非質數的

連續奇數, 且必然存在相鄰二質數P, Q, 使 P< F(1) < F(b) <Q.

且此相鄰二質數 P,Q 的間隙中至少有 b 個非質數的連續奇數

F(1) , F(2) ,…F(b) , 及( b +1) 個連續偶數.

證 

  由 p = 2b + 1為質數, p³3, 令X_p 為從 2 到 p 所有質數的倍數,

F(x)= X_p+ 2x+1 . 得F(1)=X_p+3 , 3 êX_p . ®3 êF(1); 

F(2)= X_p+5, 5 êX_p. ® 5 êF(2); F(3)= X_p+7 , 7 êX_p.

® 7 êF(3);  F(4 )=X_p+9, 3 êX_p. ® 3 êF(4) ; ……;

F( b )= X_p+ 2 b +1= X_p+ p, p êX_p. ® p êF(b),且 2 êX_p.

即得證F(1), F(2), F(3), F(4),…, F(b)為非質數的連續奇數.

取P為 P< F(1) 中之最大質數; Q為 F(b)< Q中之最小質數.

則相鄰二質數P, Q 的間隙中至少有b個非質數的連續奇數

及(b+1) 個連續偶數.且當b為無限大時,相鄰二質數P, Q的間隙中

至少有 p=2b+1 個非質數. 進而得證

「在無限大的兩個相鄰質數,其差距不應該是有限的」. 足見百年來,

數學家猜測,「在無限大的兩個相鄰質數,其差距應該是有限的」

是錯誤的. 隨之當 p=2b+1為大於七千萬的質數,

則相鄰二質數P, Q之間隙亦必大於七千萬.

姑無論七千萬的上界估算是粗略或是精確,但無限大二質數的間隙並非

非如網路所說「百年來,數學家的猜測, 在無限大的兩個相鄰質數,

 其差距應該是有限的」,則池裡撈針與大海撈針同屬子虛烏有.

茲舉例如下:

1. p=2b+1=5.

(1) 取 X_p=2(3)(5) 為從2到5所有質數的連乘積,

  F(x)=30+2x+1.則當 xÎ{1, 2} 時: F(1)=33, F(2)=35,

  31為31<F(1)=33 中之最大質數; 37為 F(2)=35<37 中之最小質數;

則相鄰二質數 31, 37的間隙中恰有2個非質數的連續奇數及3個連續偶數.

(2) 取 X_p=2²(3)(5)為從2到5所有質數的倍數,

  F(x)=60+2x+1.則當 xÎ{1, 2} 時: F(1)=63, F(2)=65,

  61為 61< F(1)=63中之最大質數; 67為 F(2)=65<67中之最小質數;

則相鄰二質數61, 67 的間隙中恰有2個非質數的連續奇數及3個連續偶數.

(3) 取X_p=2(3²)(5) 為從 2 到 5 所有質數的的倍數,

  F(x)=90+2x+1.則當 xÎ{1, 2} 時: F(1)=93, F(2)=95,

  89為 89< F(1)=93中之最大質數; 97為 F(2)=95< 97中之最小質數;

則相鄰二質數89, 97 的間隙中恰有3個非質數的連續奇數及4個連續偶數.

(4) 取X_p=5！為從2到5所有質數的的倍數,

  F(x)=120+2x+1.則當xÎ{1,2} 時: F(1)=123, F(2)=125,

  113為113<F(1)=123中之最大質數; 127為 F(2)=125<127中之最小質數;

則相鄰二質數113,1 27的間隙中恰有6個非質數的連續奇數及7個連續偶數.

2. p=2b+1=257.由鄧天錫所創設之質數序列的快速方法得

  {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,

   89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,

   173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257}

   取 X_p=2(3)(5)…(257)為從2到257所有質數的連乘積,

F(x)=X_p+2x+1.則當 xÎ{1,2,3,…,128}時,F(x)不為質數.且必然存在相鄰

二質數P, Q,使 P為 P<F(1) 中之最大質數; Q 為 F(b)< Q中之最小質數.

P, Q之間隙中至少有128個非質數的連續奇數及129個連續偶數.

   本人也曾於1987年至1988年一年內發表4篇論文在

                          英國國際科技數學期刊

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology .

                                   英文標題是:

1. A certain transformation to the proof of the arithmetic-geometric

    mean inequality

  ( Int.J.Math.Educ.Sci.Technol.1987,Vol.18,No.3,P.433-437.)

                         (Received 13 May 1985)

2.  A methodized short-cut to conics 

                         ( Received 6 November 1985 )             

   ( Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 1988 ,

                                    Vol. 19 , No. 1,  P. 145-153 )

3.  A set of formulae regarding centres of a triangle

                         ( Received 13 February 1986 )

   ( Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 1988 ,

                              Vol. 19 , No. 3, P. 363-377 )

4.  Theoretical analysis concerning extension to incentre and escentres

   ( Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 1988 ,

                                Vol. 19 , No. 6 , P. 833-850 )

                     ( Received 24 , March 1986 )

我從不以洋為尊,只是不堪本土期刊匿名評審那

「既不快也不好自娛尚可」的揶揄才改投外國期刊的.

韓愈說:「怠者不能修,而忌者畏人修.」是故勤勉者「見賢思齊」,

怠忌者「見賢思除」.謙沖者「聞過則喜」,傲慢者「聞過則怒」.

足見打壓封殺比褒獎更能激起個人的研習狂熱.

余致力數學革新, 逾半世紀.其目的在求中國之數學日新又新,

讓世人刮目相看.

誠如黑人民族鬥士所說:「要在這絕望之山,開鑿出希望之石.」  

“With this faith we will be able to hew out of the mountain of despair a stone of hope.”

長久以來,其所累積的數學創新與推廣不勝枚舉.

是故與其師夷末技,何若自立自強.謹以此文供各界驗證核實.

一經比對, 立見真章. 悠悠我心,實所共鑒. 幸望能在有生之年

將畢生耕耘的果實獻給國家. 用愛的數學, 嘉惠炎黃子孫,

造福華夏兒女, 庶幾了卻一介園丁生平唯一的心願.

        慎思與明辨, 博大又精深, 悠悠五千年, 歷久而彌新.

        文明承傳統, 科技倡維新, 數學放異彩, 旭日自東昇.

    鄧天錫 寓臺灣省嘉義市和平路261之1號9F-4. 於2014年7月.