前文提到無理數，根號2算是第一個發現的無理數，原因是因應畢氏定理中，直角三角形的二短邊的平方和必等於長邊的平方和。所以二短邊是1的直角三角形，長邊的平方和是2，所以其邊長為2的平方根值，稱為根號2。

無理數的發現，在數學中的幾何應用來說，是非常重要的。因為這使很多幾何圖形都能夠運算無誤。幾何學者從「全等」及「相似」圖形中，看出一些規律：

1.如果二圖形全等，則每個邊長完全相等，每個角完全相等。

2.如果二圖形相似，敗每個邊角相等，每個邊長和對應的圖形邊長成同比例。

筆者小時候的幾何在平行定理後，就是三角形全等的證明，S指邊，A指角，例如三邊長相同全等（SSS全等），二邊一夾角全等（SAS）,以及二角一邊全等（ASA，或AAS【理由很簡單，三角形內角和180度，知道了2個角等同知道了第三個角，所以AAS等於ASA】）。但二邊一角（SSA或ASS）不是全等，有一半機會全等；而三角相同（AAA）則是相似。

由相似三角形的觀察，就可發現相似的圖形中，每個對應的邊長成為同比例，所以這個定理成為幾何測距的基礎。例如，利用相似的原理，我們可以測量地球半徑：在北廻歸線如嘉義或花蓮的地理廻歸線地標處立一個10公尺的垂直於地面的直桿，和在台北也立一個10公尺的直桿（很可能太短，利用台北的大樓如101大樓會容易一些），在夏至那日的正午12時整的時候，測量直桿（或大樓，一定是北面）的陰影長度，來估算地球半徑，北廻歸線地標到101大樓距離（嚴格來說是正北向量距離）和大樓影子的比例，等於地球半徑和大樓度的比例，如圖：

有相似的觀念後，數學家提出了一個問題，一個長方形如果對折而不變形，也就是對折後的長方形和原來的長方形相似，那麼它的長寛比應是多少？用代數，很容易算出長邊比上短邊應是比值為根號2的長方形：短邊是1，長邊為x, 則

x/1=1/(x/2)，解方程式得到x為根號2。

那麼這個長寛比值為根號2的長方形有什麼用呢？十六世紀時的數學家就算出來了，當時很可能只是一個代數上面的題目，沒有什麼實際意義，但是到了20世紀，印刷術已經發展到可以縮放印刷了，然後就發現這種比例的紙張可以配合圖文印刷縮放而不會變形，紙張不需要裁邊。於是有了ISO 216這國際標準：紙張標準分成A、B、C三個系列：

A0，長寛比為根號2，面積為1平方公尺的紙，對折後大小為A1， 再對折後為A2⋯一直到A10;

B0，短邊為1公尺，面積為根號2平方公尺的紙，對折後大小為B1，⋯到B10。

C0，長短邊各為A0，B0尺吋的平均值。

以前去文具店買畫圖紙，是幾「開」來算的，其實它就是對應到ISO 216的A系列，1開就是A1，2開就是A2，4開就是A3, 8 開就是A4⋯。

另外一個長寛特殊比例的長方形是畢逹格拉斯的黃金距形了。它是這樣的，黃金距形，是短邊和長邊部分形成正方形後，長邊剩下的長方形仍然是黃金距形。那麼，它的長寛比是：

設短邊為1, 長邊為x，則

x/1=1/(x-1)，可以簡化成一元二次方程式x^2-x-1=0，公式解去掉負值的部分後，為（1+根號5）/2。

黃金距形有什麼用？不知道。它可能是一個數學題目而己，也許可以拿來做旗面，票面。數學上很多東西只是提出一個問題，或是一個解答。應用面還不知道，也許永遠用不到，也許重要到不能再重要，例如虛數，提出虛數定義（i^2=-1）後幾百年來，只有歐拉從中推出許多公式。人類史上最偉大的數學家之一高斯就定名為虛數，意思是虛幻，用不上的數。可是到了近代物理，從波動研究開始，發現波用虛數演算非常好用，簡化運算不說，而且準確，和實驗結果相同。現代物理這100年來的大部分的研究成果，都脫離不了虛數的演算。

回到幾何上面，從三角形的全等，到相似研究加以括充就是三角函數了。直角三角形中，邊長與角度有關連性，邊長與角度對應的關係就是三角函數。定義有六種，sin，cos, tan, cot, sec, csc。通常只用sin, cos, tan三者，因為其他三者和前三者為倒數關係。直角三角形中，只要知道一個角度，就可以得到許多數據，是它的特點。因為一個角知道後，其他二角，一個是直角，另外一個也就知道了。三個角都知道的三角形，是相似的，因為每個相似的三角形，邊長是同比例的，所以它們的三角函數都會相同。

三角函數的應用性太多了，各種幾何測量，向量計算，電子學，物理學，繪圖，衛星定位，槍炮的描準射擊⋯總之，它是數學必學的，而且在現代世界中的應用層面非常非常之廣。

用三角函數測地球半徑，就比前面的方法方便很多，例如夏日到了東部海岸（夏至時，則到花蓮北廻歸線附近，不是夏至的日子，則往南移動，如台東海岸）遊玩，就可以玩一下這個方式來測半球半徑：

1.地點，東部海岸沒有阻擋視線之處。

2.計時碼表。

3.天氣晴朗之日。

測量步驟：日出前，目視東方，見到太陽出現在海面上時，按下碼表計時。然後躺下，面向東方，這時看不到太陽，等到再次見到太陽升起時停止計時。這時，可以計算地球半徑，如下：

因為經過T秒後，地球轉動了360*T/86400 度角。（一圈360度，一日有86400秒），利用身高造成的高度差，計算地球半徑。