Q:

有一非常大的正整數n ，它除了不可被1 至250 中某正整數
k, k +1整除外，都可被1至250 中其他的整數整除，試求k 之值。

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雖然說這題是97年數學科能力競賽決賽試題之一,但是事實上只有指考難度

大家可以試試看, 其實用想的就可以想通的喔!

詳解: (反白)

正確的思路應有三個步驟

(1)首先，證明k >125：
當k ≤125時，因為n 不可被k 整除，得n 也不可被2k 整除，但1< 2k ≤ 250，
此與已知條件矛盾。

(2) 證明k , k +1必為質數或質數之次方：
假設k 可分解成k = rs，其中r , s互質。因為k 不整除n，則r 不整除n 或s 不
整除n，此與已知條件矛盾。故k 必為質數或質數之次方。同理可證，k +1亦為
質數或質數之次方。

(3)另一方面，k , k +1中必有一為偶數，所以k , k +1中必有一為2 的次方。但是介於
125至250之間之2 的次方為27 =128，故128為一不可整除n 之數。另一數可能
為127或129，又因129 = 3×43，而127為一質數，所以127為另一不可整除n 之
數。故兩數為127,128，即k =127。