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P.113，……白努利的才華很快就受到數學界的肯定，1686年底，梅格林去世之後，他繼任為巴塞爾大學的數學教授。

那時候，白努利一直在研究際遇遊戲的問題，影響他很大的是荷蘭數學家兼科學家惠更斯〈Christiaan Huygens〉，惠更斯除了改善望遠鏡、率先了解土星環、〈根據伽利略的想法〉創造出第一個擺鐘、並幫忙發展光波理論以外，還受到巴斯卡和費馬的啟發，寫了一本關於機率的數學入門書。

P.114，……白努利的觀點反映了當時的文化：處世之道若能夠符合機率期望值，就是講理之人的表徵。……他也認知到這套舊理論並不適用於機率未知的狀況──在這種狀況下，各項結果的機率原則上是可以定義的，實際上卻是未知的。這也就是我與莫西所討論的問題，也是嘉格必須面對的難題：

不完美的骰子擲出6點的機率到底是多少？你染上黑死病的機率有多大？你的護胸盔甲抵擋長劍刺穿的機會有多少？

白努利看到答案的角度，和後來嘉格採取的一樣：我們應該由觀察中得到機率，而不是接受別人給出的機率。

身為數學家，他試圖讓這個想法更明確。

P.115，假設觀察輪盤轉了好多次，你能多精準的定出相關的機率？你對自己定出的機率又有多大的信心？〈我們將在下一章回過頭來討論這些問題。〉然而，這些問題並非白努利所能回答的。他所回答的是一個緊密相關的問題：事件的機率在實際發生的結果中，到底反映了多少？

白努利認為，當試驗的次數愈多，我們觀察到的發生頻率理應愈來愈能準確反映事件的機率。他並不是第一位這麼認為的，不過，他可是第一位正式處理這個問題的──他把腦袋的想法化為證明，把問題量化，自問需要做多少次試驗，以及對準確性有多確定。……

白努利繼任為巴塞爾大學教授的那年〈1686年〉，是數學史上轉捩點的一年：就在這年，萊布尼茲〈Gottfried Leibniz〉發表了一篇革命性的論文，奠定了積分的原則，補足了他在1684年發表的微分論文。牛頓的微積分論文則在1687年出版，收錄在他的《自然哲學的數學原理》〈通常簡稱為《數學原理》〉書中。這些進展是白努利隨機研究的關鍵。

P.116，……兩個人的著作都不容易讀。牛頓的《數學原理》不僅是最偉大的科學著作，也號稱「最難理解的著作」。萊布尼茲的著作，根據雅各‧白努利自傳作者的說法，「沒人看得懂」，不僅寫得不清楚，還有許多印刷錯誤，雅各的弟弟約翰說它是「難以理解的謎，而不是解說」。……它分辨了米和秕糠，而白努利的聰明才智屬於後者，因此，一旦他解開萊布尼茲的思想之謎，就擁有了世上只有少數人能夠分享的利器，……

P.120，雅各‧白努利把自己二十年的辛苦結晶，稱呼為「黃金定理」。這個定理的近代版，因著專業上的少許差異，而有不同的名稱：白努利定理、大數法則、弱大數法則。

……舉個例子，罐子裡有3000顆白色卵石、2000顆黑色卵石，也就是60%是白色的、40%是黑色的。以抽出、放回的方式從罐中取出卵石，……因此罐內的卵石一直保持3：2的比例，於是，取出白色卵石的機會應該是3/5，也就是60%。白努利主要的問題就是：你能夠多嚴格的期望白色卵石抽到的比率堅守60%，而這樣的機率有多大？

P.121，這個罐子的例子很好，因為描述抽取卵石的數學，可以用來描述任何一串試驗，只要每次試驗都只有兩種可能的結果，並且，結果是隨機出現的，而試驗是彼此獨立的。我們今天把這樣的試驗稱為「白努利試驗」，一連串的白努利試驗叫做「白努利過程」。〈三條魚插註：這就是《隨機法則─醉漢走路》(8) 談到的『一個問題只是另一個問題的變形，數學上叫做同態〈homomorphism〉』。〉

當隨機試驗只有兩種可能的結果，我們通常就將它們隨意標示為「成功」或「失敗」。這種標示並不代表它們表面的意義，有時候甚至和這些字眼日常的意義無關，比方說，如果你迫不及待繼續讀這本書是「成功」，而在木頭燒盡時，焚燒本書以取暖就是「失敗」。

P.122，……如果取出次數足夠多，是否就使你能夠九成九九九確定，取出的白色卵石占59.9%到60.1%？白努利的黃金定理要處理的，就是這樣的問題。

要應用黃金定理，必須先做兩個選擇。

首先，你能容忍多大的誤差？你要求這一系列的試驗結果要多接近60%？你必須選一個區間，例如－1%~~＋1%、－2%~~＋2%，或－0.00001%~~＋0.00001%。

其次，你必須定出你對不確定的容忍程度，你不可能百分之百確定結果會恰如所願，但是如果100次有99次、或1000次有999次，也就行了。

黃金定理告訴你，總是可能取「足夠多」次，而使得取出的白色卵石「幾乎確定」會「接近」60%，不管你個人對「幾乎確定」與「接近」的要求程度是什麼。這個定理還在「幾乎確定」與「接近」的給定條件下，給出條件，來計算試驗次數要多少，才叫「足夠多」。

〈三條魚補註1：隨機理論和微積分的關聯，首先在微積分理論的推論過程中，類似上面的陳述經常出現，稱為【̯n -δ的定義】【ε-δ的定義】。〉

〈三條魚補註2：上述的白努利定理，參見現行高中數學三年級數甲第一章『常態分佈與信賴區間』，三條魚剛剛上網想找看看有沒有適合的網頁，一時找不到，找到再補吧。〉

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