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P.123，白努利希望他的公式具實用性，很不幸，多數的實際應用情形並非如此。例如白努利所舉的一個例子，我改變了其中的情境：假設60%的巴塞爾選民支持市長，你得要抽樣多少人，才能99.9%確定市長的支持度達58%到62%，也就是準確到－2%~~＋2%？〈為了要與白努利的要求一致，我們假設抽要是隨機的，而且是以抽出、放回方式，也就是同一個人可能被抽中兩次。〉答案是25500人。在白努利的時代，這幾乎是巴塞爾市的全部人口。白努利並非不知道這個抽樣數字不切實際；他也知道一個經驗老道的賭徒不需要太多次實驗，就可以在新的賭局中，憑直覺猜到自己成功的機會。

白努利的數值估計與最佳值相差甚遠的其中一個原因，是他的證明依賴許多近似估計。另一個原因則是他選用99.9%當作確定性的標準，也就是他要求1000次的試驗結果中，不能有超過1次的錯誤〈並且與正確值相差不到2%〉。這是非常嚴格的標準，白努利稱之為「道德確定性」，意思是他認為這是一個理性的人要能做出合理的決定、所需要的確定程度，或許這也顯示了時代的改變有多大；今天我們已經放棄了這種道德確定性，而改採用我們上一章所碰到的「統計顯著性」，也就是20次中不超過1次錯誤。

運用現代的數學方法，在我剛才描述的民意調查中，統計學家已經證明只需要抽樣370人，就能得到據統計顯著性的效果，誤差在－5%~~＋5%。如果抽樣人數達1000人，那麼就有90%的機會達到誤差在－2%~~＋2%的60%支持度。

P.124，儘管有其侷限，白努利的黃金定理仍然是一個里程碑，至少它在原則上證明了只要樣本數目夠大，差不多就能確實反映抽樣母體的結構。

P.125，……卡尼曼和特弗斯基還給了它一個名字：小數法則。

並非真有這麼一個法則，它只是一個諷刺的名稱，指那些試圖應用大數法則，但樣本數目卻不多的誤用。

P.126，就《財星》雜誌全球五百大企業而言，在過去五年，有差不多333位執行長的表現未能反映他們的實力。還有，單就機遇來看，就有十六分之一的執行長會經歷連續五年的好成績或糟糕表現。

這說明了什麼？這說明了要論斷一個人，最好是去分析他的能力，而不是只看戰功表。或是如白努利說的：「評價人的行為，不應該只看結果。」

要能夠反「小數法則」而行，是需要骨氣的。坐在一旁指著最後結果當作證據，任誰都辦得到；然而，能夠以一個人真正的學問和實幹能力來作評價，則需要自信、思考、好的判斷力，還有膽識。

但是在開會時，你可不能就這樣站起來大聲說：

「別解雇她，她只是剛好陷入一連串白努利試驗結果中，較差的那一頭。」

碰到有同事的賣車業績創下公司有史以來的最高紀錄、而得意洋洋時，要是你站起來說：「這只是個隨機波動」，那可就落得沒有朋友了。

所以人們甚少違背「小數法則」，大家會以敏銳的後見之明，把執行長的佳績歸功於他們的才智，而有人未能成功時，我們往往認為失敗準確反映了他們天賦能力上的不足。

另外一個與大數法則有關的錯誤想法是：某個事件如果最近未曾發生，那麼它就比較可能發生；或是反過來說，如果某事件最近曾經發生，那麼它就比較不可能發生。像這樣認為「一個機率固定的事件發生的機會，會隨著它最近出現的頻率而增加或減少」，這種想法稱為「賭徒謬誤」〈gambler's fallacy〉。

例如，如果柯里希在最初100次丟銅板時，擲出了44個正面，銅板並不會為了讓反面出現的次數迎頭趕上，而傾向於出現反面。

P.127，「賭徒謬誤」正是「他的運氣用光了」、「該輪到他走運了」這類說法的根源。事實卻非如此，無論如何，

好運連連，並不會帶來厄運，

而壞事不斷，也不表示好運就要來了。

可是，賭徒謬誤對大眾的影響超乎想像，即使不是有意識的，也存在於潛意識。人心總是期望壞運之後會有好運，也擔心壞運會隨著好運而來。

P.128，……就在1705年8月，白努利正準備發表這篇手稿時，卻因為「某種傷寒虐熱」不治，享年五十歲。出版社要他的弟弟約翰來完成這篇手稿，約翰拒絕了，說他太忙。這件事看起來有點奇怪，但白努利家族本來就是個奇怪的家族。

P.129，……這本書終於在1713年以拉丁文出版，書名為《猜測的藝術》，就像巴斯卡的《沉思錄》，這本書至今仍有發行。

雅各‧白努利證明了經由數學的分析，我們能夠知道：隱藏在自然系統內在的機率，如何反映在這些系統所製造的數據中。

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