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P.68，有個常在初等機率論中教授的問題，與此有關，稱為兩個女兒的問題，類似我在前面引述自「請問瑪麗蓮」專欄中的問題。

假設有位母親懷了一對異卵雙胞胎，想知道兩個都是女兒、或一男一女等等的機率是多少，……這和擲銅板的樣本空間一樣，只是「正面」換成了「女兒」，「反面」換成了「兒子」。像這樣，一個問題只是另一個問題的變形，數學上有個花俏的名字，叫做同態〈homomorphism〉。如果發現一個同態，表示你省了好大功夫。……

P.69，……在兩個女兒的問題中，常常還接著問這個問題：如果知道其中一個是女兒，那麼兩個都是女兒的機率有多大？

你可能會這麼想：如果有一個是女兒，那麼只剩下一個孩子要考慮，那個孩子是女兒的機率是50%，因此兩個都是女兒的機率是50%。

錯了！

為什麼？雖然問題敘述說有一個是女兒，但並沒有說是哪一個，因此情形就不同了。如果你聽得有點糊塗，沒關係，這正可以用來說明卡丹諾方法的威力，他讓推理的過程變得清晰。

「其中一個是女兒」這個新的訊息，表示我們可以在可能結果中刪除兩個都是男孩的考量。因此，根據卡丹諾的方法，我們從樣本空間中刪除(兒子，兒子)這個可能的結果，……因此，兩個都是女兒的機率為三分之一。

P.70，我們還得給瑪麗蓮記上一功，不只是因為她努力提升民眾對初等機率的認識，更因為經歷「蒙提霍爾問題」的挫折後，她還有勇氣繼續刊登這類的問題，我們就以1996年3月刊在專欄中的問題，結束這段討論：

我父親從收音機聽到下面的故事：杜克大學有兩個學生，整學期在化學課都拿到A，不過，期末考前一天，他們到另一州參加派對，沒能及時趕回學校考試，他們給教授的藉口是有個輪胎爆胎了，請教授給他們補考的機會。教授答應了，出了份題目，叫他們到不同的教室補考。

第一個問題〈在試卷的其中一面〉占5分。

他們翻到試卷的另一面，發現第二題，占95分，題目是：「哪一個輪胎爆胎？」

請問兩個學生答案一致的機率有多大？

我和我爸爸都認為是十六分之一，對嗎？

不對，不是這個答案：如果學生說謊，他們說出同一個輪胎的正確機率是四分之一。

P.71，正如我在前面所說的，要理解「蒙提霍爾問題」並不需要什麼數學訓練，但是它的確需要某種仔細的邏輯思考，……在「蒙提霍爾問題」中，你面對三扇門，其中一扇門的後面是某樣名貴的東西，譬如一台紅色的瑪莎拉蒂跑車，另外兩扇門後的東西，就沒那麼大的吸引力，譬如譯成塞爾維亞文的莎翁全集。

假設你選了一扇門，這個問題的樣本空間，是下面這三個可能結果：

瑪莎拉蒂跑車在一號門後

瑪莎拉蒂跑車在二號門後

瑪莎拉蒂跑車在三號門後

……根據遊戲規則，緊接著，主持人會打開一扇你沒有選的門，讓你看到後面是一套莎翁全集〈主持人事先已知道每扇門後面有什麼〉。當主持人打開這扇門，他刻意不選有瑪莎拉蒂的那一扇，因此這並非完全隨機的。

【三條魚】這就是三條魚在《「請問瑪麗蓮」專欄的「蒙提霍爾問題」(上)》給的提示，主持人“知道”和“不知道”是兩種不同的狀況。

我們有兩種情形要考慮。

P.72，第一種情形是你一開始就選對了，我們不妨稱此為「幸運之選」，於是，主持人就隨機打開二號門或三號門，如果你選擇把一號門換掉，那就享受不到拉風的跑車，而擁有了塞爾維亞版的《特洛伊羅斯與克麗西達》。所以，如果是「幸運之選」，最好不要換──但是選中「幸運之選」的機會只有三分之一。

另外一種情形就是你開始時選錯了，不妨稱之為「錯誤之選」。你有三分之二的機會做了錯誤之選，是幸運之選的兩倍。這會造成怎樣的差異呢？

在「錯誤之選」的情形下，瑪莎拉蒂是在一扇你沒有選的門後面，而塞爾維亞文的莎翁全集則在另一扇沒有選的門後頭。

和「幸運之選」不同的是接下來主持人並不是隨機打開一扇門；因為他不想透露出瑪莎拉蒂的所在，所以他選擇打開沒有瑪莎拉蒂的那扇門。

換句話說，在「錯誤之選」的情形下，主持人干預了一直以來的隨機過程。於是整個過程不再是隨機的了：主持人利用知道的資訊影響了結果，違背了隨機性，他保證只要你選擇換，就能贏得那部紅色跑車。

由於這種干預，如果你落入「錯誤之選」，換就贏，不換就輸。

總結一下：如果你最初做了「幸運之選」〈三分之一的機會〉，不換就贏；如果是「錯誤之選」〈三分之二的機會〉，由於主持人的作為，換了就贏。

因此，換或不換的決定，就相當於猜一猜你選中的是哪種情況。

如果有強烈的第六感或命運引導你一開始的選擇，那你或許不應該換。不過，除非你擁有憑腦波弄彎湯匙的超能力，不然，落入錯誤之選的機會是三分之二，所以最好還是選擇換吧。

P.73，該節目的統計數據也證實了這點：發現自己落入這種狀況的那些人當中，選擇換而贏的，是不換〈而贏〉的兩倍。

「蒙提霍爾問題」難於掌握之處在於除非你做了仔細的思考，否則，主持人的角色就像你的媽媽一樣，往往給忽略了而得不到感激。……

P.60，那位來自軍方的博士說的可能不錯，……二十世紀最重要的數學家艾狄胥〈Paul Erdos〉得知此事時，他說：「不可能！」即使給了他一個數學證明，他還是不相信，而且還很生氣。直到有位同事以電腦做模擬，而艾狄胥看著幾百個數據顯示換的勝算是2/3時，他才承認自己錯了。

看起來那麼明顯的答案，怎麼會是錯的？

有位哈佛大學的機率統計專家是這麼說的：「我們的腦袋生來就不是解決機率問題的料。」

P.73，如果在卡丹諾的時代就有「蒙提霍爾問題」，他會是瑪麗蓮、還是艾狄胥？雖然樣本空間法則把這個問題處理得很好，但是我們實在無法確定，因為直到1959年這個問題才〈以不同的名字〉首次出現在葛登能〈Martin Gardner〉於《科學美國人》的一篇專欄文章中。葛登能稱呼它是「絕妙又惱人的小問題」，並且下了這麼一個注解：

「數學中還沒有其他哪個領域，比機率理論更容易令專家出錯。」

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