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P.61，美國大物理學家費曼有一次告訴我，別以為只看別人做的推導，自己就懂了，要真正了解某個理論，唯一的方法就是自己去推導。〈說不定最後把它推翻了！〉對我們這些不是費曼的人，重新證明別人做出的結果，是拿不到終身教職的，只能淪落到把數學技巧用在大賣場當收銀員。

不過，這個「蒙提霍爾問題」〈以猜獎遊戲的主持人為名〉不需要什麼特別的數學知識就能解決；你並不需要微積分、幾何、代數，甚或安非他命──據傳艾狄胥是愛用者。〈傳言說他在戒掉一個月之後，說道：「以前我看到一張白紙時，許多想法湧上心頭，現在就只看到一張白紙。」〉

你只需要知道機率及樣本空間是怎麼回事，而這些就是機率分析的架構，在十六世紀時由卡丹諾首次付諸文字。

P.62，對卡丹諾而言，賭博是天性，他對賭博的感覺與生俱來、毋庸思考，因此他注定會了解到賭博遊戲中隨機出現的結果之間的數學關係，這份了解甚至超越了他自己對於命運的信念。

卡丹諾的成就也超越了當時仍處於原始狀態的歐洲數學；十六世紀初期，不要說代數，就連算術都還處於石器時代，那時候還沒發明等號呢。……他生於1501年。……接生婆預料他活不過一小時。

P.63，黑死病最初是在1347年從西西里東北部……傳入歐洲的。……1501年這一年，在義大利是很糟糕的瘟疫年，卡丹諾的奶媽和哥哥都死了。這個幸運的小嬰兒卻活了下來，除了在鼻子、前額、面頰及下顎留下了肉瘤，容貌變得難看，他注定還要活將近七十五年，……

P.64，1516年，卡丹諾認定學醫是他最好的機會，……〈父親〉法茲歐希望卡丹諾學法律，因為如此一來，他就有資格拿到100克朗的獎學金。……

……對卡丹諾那個時代的賭客而言，每個城市都是拉斯維加斯，……如果是比賽下西洋棋，卡丹諾得冒著被某個棋王痛宰的風險；但是賭骰子的話，他和其他人的機會一樣好，而在這類遊戲中，他還比其他人要占優勢，因為他已經透徹了解各種狀況下贏錢的機會。……沒多久，卡丹諾存到了1000克朗的教育基金，遠超過他父親的期望金額，足夠他求學十年呢！

P.57，卡丹諾對於機率運作方式的洞見，可以歸納到我們稱為「樣本空間法則」的原則之中。樣本空間法則代表了一種新的想法與方法論，構成未來幾個世紀描述不確定性的數學基礎。

這雖是一個簡單的方法論，……但在隨機理論發展的過程中，可能比其他問題考倒了更多人。

P.65，……那時候，等號「=」還不存在……直到1557年，才由來自劍橋的雷科德〈Robert Recorde〉發明，他是受到幾何的啟發，認為還有什麼比“平行線與相等”更相似的東西，所以決定以平行線來代表。至於乘號「×」直到十七世紀才由聖公會的一位牧師發明出來。

P.66，樣本空間〈sample space〉這個名詞，指的是將隨機過程中所有可能的結果看成空間中的點。簡單的情況下，這個空間中可能只有幾個點；但在複雜的情況中，這個空間就像我們生活的空間那樣是連續不斷的。

不過，卡丹諾並沒有稱呼它為空間──將數的集合看成空間，是一個世紀以後的事，要等到笛卡兒發明了坐標，統合了代數與幾何。

用現代的語言，卡丹諾的法則是這樣說的：

如果一個隨機過程中，所有結果發生的可能都相等，

有些是有利的〈贏的〉，有些是不利的〈輸的〉，那麼，有利的結果發生的機率，就等於有利的結果在所有可能的結果中所占的比例，

所有可能發生的結果，就稱為樣本空間。

P.67，卡丹諾法則〈即樣本空間法則〉的威力，有某些微妙之處。

其中一點在於「結果」〈outcomes〉這個詞的意義。一直到十八世紀，法國數學家達朗貝爾〈d`Alembert〉在分析擲兩枚銅板的狀況時，還誤用了這個概念，……正面〈譬如可選人頭當作正面〉出現的個數可能是0、1或2，因為有三種可能的結果，達朗貝爾推論每一個發生的機率是三分之一。

不過，他可就錯了。

……連續擲兩枚銅板的情形其實相當簡單，卡丹諾的方法很容易適用。

關鍵在於要認知到擲銅板的可能結果，是這兩枚銅板在桌面上顯示的狀況，而不是像達朗貝爾那樣，只計算正面出現的總個數。

P.68，換句話說，我們不應該把0、1、2個正面當成可能的結果，而是下面這樣的序列：(正面，正面)、(正面，反面)、(反面，正面)、(反面，反面)。這四種可能的結果構成了樣本空間。……卡丹諾的方法證明達朗貝爾錯了：0個或2個正面的機率分別是25%，但1個正面的機率是50%。

所以，要是卡丹諾以一賠二押「一個正面」，他只有一半的機會輸，另一半的機會則可賺到兩倍的賭金，這對十六世紀一個急需大學學費的孩子而言，真是機會大好──今天也還是大好機會，如果有人提供這樣的賠率的話。

【三條魚】假定每次預付的賭金是一百元，“一賠二押「一個正面」”的意思是贏的時候可以賺兩百元〈連原本預付的賭金是拿回三百元〉，輸的時候賠掉原本的一百元。

問題是贏和輸的機率同樣都是1/2，(1/2×兩百元)減(1/2×一百元)等於五十元，所以，平均來說，相當每次可以賺五十元。

至於會有“一賠二押「一個正面」”的賠率，是因為賭局的莊家和達朗貝爾一樣認為「一個正面」機率是1/3。

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