今天 (2019.04.03) 筆者來分享三角函數「和角公式幾何圖解法」與「和角差角公式記憶口訣」，我們先來看一下基本口訣，然後再來看幾何圖解法，最後小結一下記憶口訣。

基本口訣分成兩部分：

第一部份說明展開之後的乘積部分是哪兩個三角函數做相乘；
第二部分則說明展開之後的兩個乘積的加減號相對於和角或差角是何種關係；

乘積如果是 cos x cos 或 sin x sin，我們稱之為「同名相乘」；
乘積如果是 sin x cos，我們稱之為「異名相乘」；

三角函數的和角做展開之後的兩個乘積是做相加，我們稱之為「加同」；
三角函數的和角做展開之後的兩個乘積是做相減，我們稱之為「加異」；
三角函數的差角做展開之後的兩個乘積是做相加，我們稱之為「減異」；
三角函數的差角做展開之後的兩個乘積是做相減，我們稱之為「減同」；


基本口訣先講到這裡，接下來跟讀者分享「和角公式幾何圖解法」，這個圖是筆者使用 GeoGebra 軟體所繪製而成(GeoGebra 是一個 Open Source 且不用付錢的幾何代數繪圖與計算軟體)，繪製之後再於其上做手繪圖解，而此圖解法的來源，筆者是經由搜尋 Youtube 而參考到「Stepp 學院」所分享的「圖解和角公式」影片。

《三角函數和角公式之幾何圖解法》

如何手繪這張圖解：

1. 先畫出一個矩形 ABCD；
2. 依上圖在矩形裡疊畫出兩個直角三角形，先畫出直角三角形 ABE，再疊畫出直角三角形 AEF；
3. 將三角形 ABE 的角 BAE 的角度設為 alpha，角 AEB 設為 phi，將三角形 AEF 的角 EAF 的角度設為 beta，其斜邊長度設為 1 個單位長；


依據 sin(theta) 與 cos(theta) 的定義

sin(theta) = 對邊 / 斜邊；
cos(theta) = 鄰邊 / 斜邊；

可得

對邊 ＝ 斜邊 x sin(theta);
鄰邊 ＝ 斜邊 x cos(theta);

現在我們想要藉由 1 個單位長的斜邊，來求出圖中的每個線段的邊長(以三角函數來表示)，為了達成這個目的，我們必須先求出角 CEF 與 角 AFD 各為多少。

就三角形 ABE 而言，(角 alpha) + (角 phi) = 90 度 ...... (1) 式
就線段 BC 而言，(角 CEF) + 90 度 + (角 phi) = 180 度，可得 
(角 CEF) + (角 phi) = 90 度 ...... (2) 式

由(1)(2)式可得：(角 CEF) = (角 alpha)

就平行的兩個線段 DC 與 AB 而言，線段 AF 為截線，因此 (角 BAF) 與 (角 AFD) 為內錯角，故可得 (角 AFD) = (角 alpha) + (角 beta)。

好了，該有的角度都已經求出來了，現在由 1 個單位長的斜邊 AF，可依序分別求出線段 AE、EF，AB 與 BE，EC 與 CF，以及最後的線段 FD 與 AD。

所有的線段都求出來之後(以三角函數表達)，根據 AD = BE + EC 可求得 sin 的和角公式，根據 AB = DF + FC 可由求 cos 的和角公式。

sin 與 cos 的和角公式求出來之後，就可利用 (alpha - beta) = (alpha + (- beta)) 套入和角公式，再利用負角公式(sin(- theta) = - sin(theta), cos(- theta) = cos(theta)) 求得三角函數的差角公式。

利用上述的幾何圖解法來求三角函數的和角差角公式，會比證明的方法來得快，因此如果在考試的時候，考卷上沒有給公式(現今的考卷上大多時候都會給公式)，然後自己又把公式給忘了，就可以記住這個圖來推公式。

三角函數和角差角公式一定要記住，因為記住了就不用記憶 2 倍角與 3 倍角公式，直接用推的就行(幾個步驟而已，不會繁瑣)。

最後，我們把三角函數和角差角的公式小結如下：

是不是好記多了！

附錄：Stepp 學院的「圖解和角公式」影片




附錄二：本文的主圖亦可作為 tangent 和角公式的幾何圖解，只要將底部的 AB 線段長度設定為一個單位長，並以 tangent 的觀點來求出各個直角三角形的對邊，就可以得到 tangent 和角公式的幾何圖解。