.    商高（畢氏）定理的證明，我覺得這是一個應該要學的證明，證明的方法有很多種，維基百科都有，老師應該要教至少一個的證明，告訴學生這個定理是有原因的，而不是把這個定理當作一個口訣背起來。

.    許多人討厭數學，我是從小學就討厭數學，直到幾年前才莫名其妙又喜歡上，我回頭想想為什麼我會這麼討厭數學？或許是我問了太多課本上沒有的東西吧！老師通常會給我不是很正面的回應，甚至是情緒化的回應，後來我也懶得問了，一切都懶了，考試的成績當然也懶到趴了。

.    我記得有位生物老師，很喜歡拍投影片的機器罵人，我真怕她把投影機拍破了，有一次我學到神經細胞傳遞訊號時會分泌介質來達到工作，訊號傳遞速度會到 100m/sec ，我就問她為什麼要這麼麻煩？難道不能夠電訊號直接通過去嗎？這樣可以 300000km/sec ，結果投影機又倒楣了，真可憐；還有另一個女老師，說男生因為精囊脹脹的不舒服，所以【自慰】只是碰碰精囊把精液流出來，我嚇到了！真的嗎？真的是這樣嗎？我的精囊是這樣的嗎？

.    現在年紀大了，終於明白許多老師只不過是混口飯吃罷了，會去買雞排，喜歡看好看的，喜歡人家問自己會的，甚至有時也會幹些小小的壞事，其實就只是一個普通人罷了！也就不再討厭他們了！雖然他們老是沾孔子的光！

.    一個正方形內接一個邊長為 c 的正方形，從兩個正方形的交接處畫出垂直的輔助線，記住先證明出 T 是直角三角形且四個 T 是全等， R 是正方形且邊長為 (a-b) ，這裡省略證明，四個直角三角形 T 的面積和為：

中間小正方形 R 的面積為

......

內接正方形面積 = 正方形 R + 四個三角形 T

......

.    直角三角形 T 的三邊長的關係也就計算出來了。

.    商高定理展示了一個極為重要的數學概念，這個概念學校沒有提，至少我那個時候沒有提，就是自然數（ 1,2,3… ）就只是自然數，是人類【初步】歸納出描述這個世界的方法，自然數不足以表示所有的現象，如圖的直角三角形就是一個例子：

.    斜邊長根本無法用一個有限長度的數字來表達，可是它偏偏就是存在，就在你面前的三角形斜邊上，當你硬著頭皮要以自然數的數字來表達時，就會要動用科學家發明的平方逼近法等等破壞性近似的方法，就會跑出 1.414…. 無限長度的數字，換句話說永遠無法表達。

.    為什麼會有這種現象呢？就是【數字】這種現象只是整個宇宙所有現象當中的一小個，自然沒有辦法表達所有現象。

.    所以當我們計算得到根號時，是一則以喜一則以憂，喜的是有方法近似成一般數字，憂的是如果是計算到一半的時候，那將來合併的過程將是困難重重，數學轉換有一個很重要的願望，就是【 無失真轉換 】，例如我們需要丈量出 2 平方公尺正方形土地，那是不是一定要量出 1.41421356…. 的邊長才能做呢？其實只需要做出：

.    這個例子只是展現保持原樣 (√2) 的好處，並沒有實際的意義，根號是數學上假設的符號，是一個未開展的符號，也代表【 無失真狀態 】，順道在提到另一個無失真狀態：分數型態，分數也是無失真的符號，它比根號強的地方是它的合併非常容易，只要把分母通分即可，能化成分數型態的數叫做有理數的原因就是如此。

.    人類不斷碰到無法解決的問題，甚麼叫【無法解決】呢？其實就是走不下去，現有經驗理論無法套用，數系便從最原始的自然數，到 0 的出現，後來出現負數，負數其實也是一個不存在的東西，一路過來都是為了因應無法解決的問題而擴展了數系，後來有許多科學家開始思考一個問題：

......

.    這類的問題怎麼辦？無解！究竟這個答案是【不存在】還是只是在【數字上不存在】？我們有很多的解答並不一定要把目前問題解決才能走下一步，其實有時只要繞過去，就如同前面的根號一樣，所以尤拉發明了一個東西，好像是尤拉的發明：

......

.    【虛數的平方等於負一】，發明虛數符號還不夠，如同根號一樣，還必須定義出虛數的運算方式，因為這些刻意發明的定義與運算，能夠達到【 無失真轉換 】，所以【虛數不能分辨出大小】是不重要的，重點是【 無失真轉換 】，就算沒有辦法轉換下去，也能如同根號一樣，保留住【 無失真狀態 】， 等待下一個理論被發明出來 再行轉換，注意虛數世界的根源是 【 】，不是 【 】 ，不能隨便開平方出來。

.    差別在哪？利用代數的原理把不知道是甚麼東西的東西包起來了，像開不出來的根號一樣，永遠無法使用小數完整表達，但是我們知道如何操作根號，到現在為止還沒有任何人知道虛數是甚麼東西，但我們知道可以如何運作虛數，不管是甚麼東西，它的平方是 (-1) ， (-1) 是實數，也就是這個原因，可以把虛數與實數整合起來， 【虛數的平方】的動作與 (-1) 是完全相等的，虛數的運作根源在此，可是當我們需要對負數根號運算時該怎麼辦呢？

.........

.    如上式化成屁股有 i 的符號就可以運算了，尤拉與高斯等等的偉大科學家發明出來虛數的動作方法，我們只要依照這些方式與定義動作，就可以把那個不知道是甚麼東西的東西困在 i 這個符號裡面，整個方程式動到翻掉都沒有關係，完全不受那個未知物影響，真的很厲害，能找到這樣的東西。虛數運算方式網路上都有，實數與虛數共同組成複數系，成為目前數學上的主幹。

.    轉換的發明到底有沒有用呢，很難說，那是人類的應用層面了，負數的運算建構出了【金融】，【信用交易】，買空賣空的基石就是負數運算，愛情也是負數運算，都是夢想在交互作用，【我是相信他（她）的】，問他相信甚麼東西其實也搞不清楚，越問越不能信；虛數呢？好像和原子有關吧！其實我也不懂！去問物理老師吧！

.    愛情搞不好是虛數才對！那個封印是不能打開的，【你愛我嗎？愛！】，到這就好，不要再問下去了，哪裡愛？這個愛一拆開，都是慾、貪、恨、愚痴、自大、小心眼等等，會發現和原來認為的運作方式完全不搭嘎，難怪牛頓一輩子是處男！還是封印起來好了，那樣最美！