指考 99 年大學指考高低標，五標。

年度  99   　　　
       

         頂 標               前 標             均 標               後 標               底 標

國文  67 　　　　　62 　　　　　54 　　　　　44 　　　　　36   *

英文  79 　　　　　69 　　　　　48 　　　　　26 　　　　　13   *　

數甲  79 　　　　　65 　　　　　45 　　　　　25 　　　　　14   **

數乙  88 　　　　　78 　　　　　60 　　　　　40 　　　　　22

化學  68 　　　　　57 　　　　　38 　　　　　21 　　　　　12   *

物理  57 　　　　　43 　　　　　24 　　　　　12 　　　　　 6

生物  81　　　　　 73 　　　　　58 　　　　   40 　　　　    28

歷史  75 　　　　    68 　　　　　57 　　　　   43 　　　　    31

地理  63 　　　　    56 　　　　　46 　　　　   34 　　　　    26   *

这是一个某地学生在 99 年大學指考分数的五標分布表，数据量足够大（large sample size）。

这里的“標”指的是 percentile－－

頂標是 88 percentile

前標是 75 percentile

均標是 50 percentile

後標是 25 percentile

底標是 12 percentile

我的问题是，根据这五標，能否大致知道其它分数的 percentile？

例如，在數甲里，70分大致是在什么 percentile？

由于不知道數甲分数的随机变量Ｘ的分布函数，因此我只能作一个预先假定（assumption），即，这个随机变量Ｘ ～ N( u, sigma )，也就是正态分布。

数表中给出的“均標”应是指中间值（median），而非平均值（X bar）。

“數甲”分数的五標分布结构还算比较对称。

第一步是估算出平均值（X bar）。

如果正态分布的这个 assumption 是对的话，那么，75 percentile 与　25 percentile 的中心点就是平均值。

（65＋25）／2　＝　45　－－这与中间值重合。

同理，88 percentile　与　12 percentile 的中心点也应是平均值。

（79＋14）／2　＝　46.5　－－不与中间值重合。

当然，观察值（observation）如果出现一点小偏差也是正常的。

我决定用这两个平均值来做平均，得到的结果即作为 u 的估计值（estimate）。

（45＋46.5）／2　＝　45.75

第二步是估算出标准方差 sigma（standard deviation）。

用 88 percentile 来计算，查标准正态分布表值：

（79－45.75）／sigma　＝　1.175　==>　

sigma　＝（79－45.75）／1.175　＝28.2979

用 75 percentile来计算，

（65－45.75）／sigma　＝0.675　==>　

sigma　＝（65－45.75）／0.675　＝　28.5185

　
最后用这两个 sigma 值来做平均，得到的结果即作为 sigma 的估计值（estimate）：28.40

正态变量的标准化转换为  Z=（Ｘ－u）／sigma

把 70 分代入，得到：（70－45.75）／28.40　＝　0.85

查 0.85 的标准正态分布表值，得到　0.8023，即，70分大约是 80 percentile。

另外，我若想知道其它的 percentile 大约是多少分。

例如，60 percentile大约是多少分？

先查 0.60 的标准正态分布表值，得到Ｚ值约为 0.25。

然后，Ｚ＝（Ｘ－45.75）／28.40　==>　

Ｘ＝0.25（28.40）＋45.75　＝　52.85

即，60 percentile大约是 53 分。

希望有高手来不吝赐教，或在文下直接点评，或留悄悄话，一律欢迎。

我这里先谢过了。