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做一道练习题（2）

時事評論｜國防軍事　2011/08/11 17:03:49

当某个科目的五標显示出 skewness 时，可考虑以均標为界，左右两侧分开计算ＳＤ，分别得出两个ＳＤ。均標值即取作 mean。

以物理科指考为例。

頂標前標均標後標底標
物理 57 　　　　　43 　　　　　24 　　　　　12 　　　　　 6

物理科指考分数是一个 skew to right 的案例。

（1）先看“高標”的部分。
先以　88 percentile　的点来计算ＳＤ（sigma1）：
（57－24）／sigma1　＝　1.175　==>　
sigma1　＝（57－24）／1.175　＝28.0581

再以　75 percentile的点来计算ＳＤ（sigma2）：

（43－24）／sigma2　＝　0.675　==>　
sigma2　＝（43－24）／0.675　＝28.1481

相互检验一下：
Ｚ＝（Ｘ1－24）／28.0581　＝　0.675　==>　

Ｘ1　＝　24＋0.675＊（28.0581）＝　42.9392　　（比较于实测值43）
Ｚ＝（Ｘ2－24）／28.1481　＝　1.175　==>　

Ｘ2　＝　24＋1.175＊（28.1481）＝　57.0740　　（比较于实测值57）

（2）接下来看“低標”的部分。

先以　12 percentile　的点来计算ＳＤ（sigma3）：
（6－24）／sigma3　＝　－1.175　==>　
sigma3　＝－（6－24）／1.175　＝15.3191
再以　25 percentile的点来计算ＳＤ（sigma4）：

（12－24）／sigma4　＝　－0.675　==>　
sigma4　＝－（12－24）／0.675　＝17.7778

可看出，左右两侧的ＳＤ有较大差别。

相互检验一下：
Ｚ＝（Ｘ3－24）／15.3191　＝　－0.675　==>　

Ｘ3　＝　24－0.675＊（15.3191）＝　13.6596　　（比较于实测值12）
Ｚ＝（Ｘ4－24）／17.7778　＝　－1.175　==>　

Ｘ2　＝　24－1.175＊（17.7778）＝　3.1111　　　（比较于实测值6）

有点误差。

若将“低標”的两个ＳＤ作一平均值：
（sigma3＋sigma4）／2　＝　（15.3191＋17.7778）／2　＝　16.5485　

而以这个平均值作为“低標”的ＳＤ。

再检验一下：

Ｚ＝（Ｘ3－24）／16.5485　＝　－0.675　==>　

Ｘ3　＝　24－0.675＊（16.5485）＝　12.8298　　（比较于实测值12）

Ｚ＝（Ｘ4－24）／16.5485　＝　－1.175　==>　

Ｘ2　＝　24－1.175＊（16.5485）＝　4.5555　　　（比较于实测值6）

fitness 有显著提高。

同理，也可将“高標”的两个ＳＤ作一平均值，虽然这两个ＳＤ已经很接近：
（sigma1＋sigma2）／2　＝　（28.0581＋28.1481）／2　＝　28.1031　

而以这个平均值作为“高標”的ＳＤ。

具体应用：
1。
30分在什么 percentile？

因为 30分高于均標，故采用“高標”的ＳＤ。

把 30 分代入，得到：（30－24）／28.1031　＝　0.2135
查 0.21 的标准正态分布表值，得到　0.5832，即，30分大约是 58 percentile。

2。
20分在什么 percentile？

因为 20分低于均標，故采用“低標”的ＳＤ。
把 20 分代入，得到：－（20－24）／16.5485　＝　0.2417
查 0.24 的标准正态分布表值，得到　0.4052，即，20分大约是 40 percentile。

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