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決賽口試試題:關於pi(n)

2009/07/09 10:13:25瀏覽582｜回應3｜推薦1

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29......等是由質數所組成的數列, 為了了解質數的分布,數學加經常用函數pi(n)來表示"小於或等於n的質數個數", 例如 pi(6)=3 , pi(100)=25

從這兩個值得知: 6/pi(6) = 2 , 100/pi(100) = 4

已知: pi(1008) =168 , 所以1008/pi(1008)= 6

證明會有一個介於100與1008之間的正整數n,使得 n/pi(n) = 5 成立

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這是95學年度全國高中數學科能力競賽決賽的口試題目

大家可以試試看 , 老實說,我也還沒有想出一個很嚴謹的說明XD, 就感覺滿明顯的...= =|||(當然這樣一定是不合格的)

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引用網址：https://classic-blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=ivan5chess&aid=3117058


	回應文章


	陳

陳

2009/07/11 22:38

恩,我犯了一個錯誤,f(x)在x是質數時不連續,所以應該修正一下:因p/pi(p)大致遞增到無限大(有幾個例外,但不影響結果),p是質數,又p/pi(p)=k時,k不可能為整數(因分子恆大於分母,且p為質數)故必存在有"連續"質數p1,p2(p1<p2),使f(p1)<5<f(p2),而f(x)在(p1,p2)間為連續,中間值定理成立,原命題得證.

都都(ivan5chess) 於 2009-07-11 22:47 回覆：

嗯嗯了解了~

我下次找時間畫畫看f(x)的圖形@@

相信會對整個問題的解法有很大的幫助!

謝謝!


	陳

陳

2009/07/11 16:34

pi(2.5)=1,pi(10.3)=4,所以f(x)=x/pi(x)在每個正實數值皆存在,由lim(f(x))恆等於f(a)可看出其為連續函數

都都(ivan5chess) 於 2009-07-11 16:57 回覆：

可是

像是f(7)=7/4 = 1.75

limf(x)(x由左趨近於7) = 7 / 3 = 2.33

limf(x)(x由右趨近於7) = 7 / 4 = 1.75

光是這樣,在x=7處的極限值不是就不存在了嗎?


	陳

陳

2009/07/11 13:53

令f(x)=x/(pi(x)),可明顯看出其為連續函數(由連續之定義),由中間值定理,必存在一個實數x介於100~1008間,使得f(x)=5.接著說明x為正整數:因為此時x=5pi(x),而pi(x)必為正整數,故此時x為正整數

中間值定理:P.82重點3之第(2)點

都都(ivan5chess) 於 2009-07-11 15:54 回覆：

ㄜ..........

老實說看不出來有連續- - (真的很明顯嗎...)