終於解決了...呵呵 - 都都的網誌

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終於解決了...呵呵

2009/09/03 09:18:53瀏覽582｜回應3｜推薦1

直角座標上, n個格子點所形成的凸多邊形,

證明: 可以將此多邊形分割成若干個面積皆為1/2的三角形(這些三角形的頂點都在格子點上)

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註1: 其實凹多邊形應該也成立

註2: 若干個到底是幾個?

令此多邊形邊上有S個格子點 , 多邊形內部I 個點

則此多邊形面積即 1/2*(S+2I-2)

也就是說, 若干個 = (S+2I-2)個

引用網址：https://classic-blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=ivan5chess&aid=3283258

陳

2009/09/05 09:35

不錯的解法,這樣皮克定理應該已經完全解決了!

這就是解數學問題最大的快感,尤其是當有名的定理用巧妙的方法解決的時候!!!

都都(ivan5chess) 於 2009-09-05 14:52 回覆：

也沒有很巧妙啦

彬哥用歐拉公式配合數歸才是真的太難想到了....Orz...

2009/09/04 14:36

因為工作需求最近開始學統計學，最基礎的就是高中學到的內容，雖然高中時數學不錯，不過大學四年完全沒碰數學的結果就是全忘光了，上網搜尋組合數學時發現了這個網誌，我只能說... 你真是瘋狂...

都都(ivan5chess) 於 2009-09-04 15:33 回覆：

呵呵沒有啦~

上大學應該碰數學的機會就會減少了呵呵

不過還是會找時間PO一些題目or定理or發現

有空可以來逛逛阿~!XD

陳

2009/09/04 11:14

恩,我認為此問題應該在一開始的多邊形分割上吧,我本來想用向量解決的,不過後來我沒有繼續想了,說說你對皮克定理的解決方法吧!

我認為你那題m不能整除2^m-1那題不好解決耶,還是我想的太複雜阿??

都都(ivan5chess) 於 2009-09-04 13:07 回覆：

我後來還是從那裡切入耶...就是一定可以找到那條線附近的一點使的三角形的面積為1/2

我是用代數的

PS: (a,b)=1

只要證明存在(s,t)使得那個三角形面積為1/2就好了 , 然後就用點到直線的距離硬代

最後可以整理得到: as + bt = ab-1

由初等數論中的定理: 如果 ax+by=c ,(a,b)|c ,只要(a-1)(b-1)≦c, x,y就有非負整數解

而 (a-1)(b-1)正好≦(ab-1),所以(s,t)有非負整數解！！

而且(s,t)有限制在與原點同側,這只要檢驗一下就可以發現是符合的︿︿

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至於那題m不能整除2^m-1,也沒有很簡單啦,不過看起來也不難就是了呵呵（那是書上的題目）