我使用的觀點不是從質數切入,提出來交流一下:

考慮P(x):

i)若P(x)無常數項,則選取整數k,此時確定P(2k),P(3k),P(4k),...皆為k之倍數,有無限多個,得証.

ii)若P(x)之常數項為m(m非+-1,m為整數),則此時P(2m),P(3m),P(4m),...皆為m之倍數,有無限多個,得証.

iii)若P(x)之常數項為+-1,不失一般性先假設為1,則利用平移的方法,必可選取某個整數k,當令Q(x)=P(x+k)時,得以保證Q(x)之常數項為m,使m為非+-1的整數(可利用多項式特性,當多項式為一次式以上時,必可左移或右移使y截距改變成其他非+-1的整數),則此時必有Q(m),Q(2m),Q(3m),...皆為m之倍數,此時對應回P(x)之x值恰為m+k,2m+k,3m+k,...,有無限多個,得証.

其實我會提出那個猜測,原本是在想那個猜測如果成立的話,這題應該可以直接得証說!!

對了,由質數觀點切入的話如何證明阿??

此題與一個猜測似乎有關:"不可能有一個整係數多項式的整數點函數值皆為質數",不過這個猜測似乎尚未得証.