恩,我想時和先生的作法給了一個好的切入點,剩下的部份應該就是說明這樣的方程組必存在相異正整數解了.而關於這部份,我的想法是令a1,a2,...,an(由小到大的正數),此時有

a1+a2+...+an-1=(n-1)^2*k^2

a1+a2+...+an=(n-1)^2*(k+1)^2

...

a2+a3+...+an=(n-1)^2*(k+(n-1))^2,其中k為某正整數

將上面n個式子加總後得a1+a2+..+an=(n-1)*k^2+(n-1)*(k+1)^2+...+(n-1)*(k+(n-1))^2,故此時僅需說明(n-1)*k^2+(n-1)*(k+1)^2+...+(n-1)*(k+(n-1))^2>(n-1)^2*(k+(n-1))^2即可,而事實上此式等價於k^2+(k+1)^2+...+(k+(n-1))^2>(n-1)*(k+(n-1))^2,for some k,移項後知為k的二次函數且領導係數為1,故必有正整數k使不等式成立,得証.

不過有更快的方法嗎?我覺得似乎有點長....@@

n 條式子，n 個不同平方數常數，的 n 元一次方程組，行列式值不為零。