高中排列組合: 共有幾種比賽情形? - 都都的網誌

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高中排列組合: 共有幾種比賽情形?

2008/11/29 13:14:55瀏覽1617｜回應6｜推薦1

甲乙兩人比賽,沒有平手的情形,且規定甲必須勝乙a場才算贏, 乙必須勝甲b場才算贏,求總共有幾種比賽情況?(用a,b表示)

ex: 若a=2, b=3

則可以有甲甲 , 甲乙甲 , 甲乙乙乙 , 乙乙乙, .....等情形(未列出全部)

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嗯...這題應該算基本題吧! 用C or H 可以整理出通項式, 一般在高中參考書因為數字通常很小, 可以用樹狀圖處理,或者用上述方法慢慢排出來(其實有規律)

( 知識學習｜科學百科 )

引用網址：https://classic-blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=ivan5chess&aid=2427554


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真心的

2008/12/04 09:13

謝謝都都

都都(ivan5chess) 於 2008-12-04 18:05 回覆：
嗯嗯不會啦^^"


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請問

2008/12/02 09:36

H(a,b) 的定義是什麼？該觀念的意義是什麼？

都都(ivan5chess) 於 2008-12-03 18:56 回覆：

其實H我認為是有點多餘的, 因為H可以處理的東西,C都可以處理(所以我也不知道為什麼要多弄出一個H...)

H(m,n) = C(m+n-1,n)

這個是H的定義

C叫做組合, H叫做重複組合

一般高中介紹H是用非負整數解個數的問題來講,

ex : x+y+z = 12 之非負整數解有幾組?

我們可以想像有12個"O" 和 2個" | " 在做排列, 每一種排列可以對應一組解

(即把左部分O個數對應x,中部分對應y,右部分對應z)

因此可以得到共有 (12+2)! / [12!x2!] 組 = C(14,12) = H(3,12)

變成一個公式: x+y+z = n 有H(3,n)組非負整數解

這樣比較方便學生思考和記憶吧(我猜的)

至於其他H的應用網路上應該會有更深入的介紹


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Sorry，式子列錯了
	2008/12/02 09:02
假如是甲勝，最後一場一定是甲勝，也就是說，前面甲已經勝了 a-1 場，而且甲至多輸 b-1 場。所以化簡後答案變成： C[a-1, 0] + C[a, 1] + C[a+1, 2] + C[a+2, 3] + ..... + C[a+b-3, b-2] + C[a+b-2, b-1] = C[a, 0] + C[a, 1] + C[a+1, 2] + C[a+2, 3] + ..... + C[a+b-3, b-2] + C[a+b-2, b-1] = C[a+1, 1] + C[a+1, 2] + C[a+2, 3] + ..... + C[a+b-3, b-2] + C[a+b-2, b-1] = C[a+2, 2] + C[a+2, 3] + ..... + C[a+b-3, b-2] + C[a+b-2, b-1] = C[a+b-3, b-3] + C[a+b-3, b-2] + C[a+b-2, b-1] = C[a+b-2, b-2] + C[a+b-2, b-1] = C[a+b-1, b-1] So, the complete answer is C[a+b-1, b-1] + C[a+b-1, a-1]


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漂亮！

2008/11/30 21:22

所以化簡後答案變成：

C[a, 0] + C[a+1, 1] + C[a+2, 2] + C[a+3, 3] + ..... + C[a+b-2, b-2] + C[a+b-1, b-1]

= C[a+1, 0] + C[a+1, 1] + C[a+2, 2] + C[a+3, 3] + ..... + C[a+b-2, b-2] + C[a+b-1, b-1]

= C[a+2, 1] + C[a+2, 2] + C[a+3, 3] + ..... + C[a+b-2, b-2] + C[a+b-1, b-1]

= C[a+3, 2] + C[a+3, 3] + ..... + C[a+b-2, b-2] + C[a+b-1, b-1]

= C[a+b-2, b-3] + C[a+b-2, b-2] + C[a+b-1, b-1]

= C[a+b-1, b-2] + C[a+b-1, b-1]

= C[a+b, b-1]

So, the complete answer is C[a+b, b-1] + C[a+b, a-1]

都都(ivan5chess) 於 2008-12-01 19:09 回覆：

@@好像有化簡錯誤喔(我不確定是不是真的有啦|||)

因為如果代a=2,b=2的話,時和先生答案應該是8組

但是實際排列看看,只有6組喔!

我的答案是 H(a,b)+H(b,a) = C[a+b-1, a] + C[a+b-1, b]


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^ 事上標； _ 是下標

2008/11/30 00:15

>> SUM(C^{i+a}_{i}) for i = 0 to b-1

+ SUM(C^{j+b}_{j}) for j = 0 to a-1

能化簡嗎？

C^{a}_0 + C^{a+1}_1 + .... + C^{a+b-1}_{b-1} +

C^{b}_0 + C^{b+1}_1 + .... + C^{a+b-1}_{a-1}

都都(ivan5chess) 於 2008-11-30 15:54 回覆：

喔喔@@

我懂時和先生的意思了

可以化簡喔! 用巴斯卡公式

C^(n)_(m) + C^(n)_(m+1) = C^(n+1)_(m+2)

<應該是沒打錯^^" 有點不習慣這樣打呵呵>


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中場休息送分題？

2008/11/29 17:39

SUM(C^{i+a}_{i}) for i = 0 to b-1

+ SUM(C^{j+b}_{j}) for j = 0 to a-1

能化簡嗎？

都都(ivan5chess) 於 2008-11-29 18:45 回覆：

@@...看不懂時和先生的式子... 什麼是(C^{i+a}_{i}) ?

也不能算送分題啦^^", 雖然比之前的簡單一些, 但是沒學過排列組合的還是不好下手@@