時和 梅斯普雷爾
Q:
n為正整數, 求: 1+(1/根號2) + (1/根號3) + (1/根號4) + ...... + (1/n) 的整數部分
用n表示
注意喔: 最後一項是(1/n),也就是 (1/根號n^2) , 最後一項的根號裡必須是平方數, 否則就求不出來囉...
答案很漂亮!
ANS: (請反白) 2n-2
2(√n - √(n-1) ) > 1/(√n) > 2 (√n+1) - √n )
(√n - √(n-1) ) > 1/2(√n) > (√n+1) - √n )
先看(√n - √(n-1) ) > 1/2(√n).
把左邊平方差掉,變成:
1 = 1/2(√n)(√n + √n )> 1/2(√n)(√n + √(n-1) )........(得證)
再看 1/2(√n) > (√n+1) - √n )
把右邊平方差掉,變成:
1/2(√n) (√n+1) + √n ) > 1 = 1/2(√n) (√n + √n ).......(得證)
這題頗簡單的
中國的教材通常都比較好呢@@"感覺那本不好找0.0...但我也自認自己實力沒那麼好orz (不過,後來有機會一定買來看看@@")
至於那本"高中數學競賽教程" 有機會會買來看看,好像只要網路訂就好了.家附近都沒有書店=.=您這樣一說,我發現老師說要買AMC的書,不知道他是不是買１０給我們= =恩, 那就謝謝您的推薦囉~希望那幾本不會摧殘我的信心orz高中時間變得好少喔~
很多是由競賽題來的啊，而且看多了競賽題，自然就會想要自己改編或設計題目吧~
這裡PO的其實是少部分耶，我家裡有其他更多的，但不可能全部PO出來XD
競賽的部分可以參考題本，我高中有買伊些，像是AMC(有分8,10,12)我覺得買12就好了
還有TRML，ARML，AIME，澳洲AMC(和剛剛說的AMC不一樣)，奧林匹亞競賽
還有上網也可以找到一些像是各地區的分區競賽(像彰雲嘉、台北等等的)和決賽，這沒有出書，但網路上找得到
書的話，我滿推薦中國奧林匹亞訓練教材，有分上下冊，我當時只看上冊就覺得幫助滿多
還有一本"高中數學競賽教程"，http://www.books.com.tw/products/0010462134 這本應該是CP值最高的書我覺得
還有一本我忘記全名了，九章出版的，但這本超難，我建議還是上面的先大概看過就好XD
我的算法 :A :
2S=1+1/√2+....+1/n
S = 1/2 +1/2√2+....+1/2√n^2
S-1/2 < 1/(√1+√2)+....+1/(√n^2-1+√n^2)
S-1/2 < n-1 => 2S<2n-1
S-1/2n > 1/(√1+√2)+.....+1/(√n^2-1+√n^2)
S-1/2n >n-1 => 2S>(2n-1)+(1/n-1)得知整數部分為2n-2
>> 求1+(1/根號2) + (1/根號3) + (1/根號4) + ...... + (1/100) 的整數部分
2n - 1 > 原式子 > 2 * 根號(n^2 + 1) - 2 * 根號2 + 1 = 2 * 根號(n^2 + 1) - 1.828 > 2n - 2.
因此 2n - 1 > 原式子 > 2n - 2
所以整數部份是 2n - 2
@@對ㄟ...
那我修改一下答案好了^^"
感謝時和先生幫我de bug
嗯嗯...這樣看起來也對ㄟ...好像怪怪的.用這個方法沒辦法證出[和]大於等於2n-1....
說不定是命題本身錯誤XD|||...因為這是我自己推導的,所以如果我推錯的話,就不能成立了,不過數學競賽中確實也是有這麼一題,我就是從這題推廣的, 但是如果這個方法不行的話, 這題怎麼求呢?
求1+(1/根號2) + (1/根號3) + (1/根號4) + ...... + (1/100) 的整數部分
>> 用不等式證出 2n > [和] > 2n-2
右半怎麼證？
>> 求...的整數部分
右半是否該證：[和] >= 2n - 1？
>> 2n > [和] > 2n-2
目前只能得到 2n > [和] > 2n-n^{2/3}，還差太遠了！
嗯...
證明
2(根號n - 根號(n-1) ) > 1/(根號n) > 2 (根號(n+1) - 根號n )
對任意正整數n均成立
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