不知道有沒有人想過，「數字」或「數學」這個東西是很有權威的。暫且不說人世間變幻莫測的感情與關係，就連一些被尊奉百年以上的物理定律都有需要被修正翻新的可能。但是，1+1=2或4X2=8這件事，無論你怎麼樣不高興，就算想破頭皮也不可能改變它… 也許一萬多年前就有某些人發現這些規律，但是現在世界上所有的人依然必須使用這些數字來規範他們每天的生活。我相信，再怎麼不願服從權威的人，在這些數字規律的面前都必須俯伏，承認它絕對不可能改變與普世正確的性質。

當然，這樣死硬卻又威力無邊的數學也自然成為許多人心中無法克服的障礙，特別是對人文藝術方面有濃厚興趣的朋友。畢竟，「確定」這件事，至少表面看起來，一直都是創造樂與想像力的死敵。但是讓我們設想一下，如果在許多我們自以為最有創造力的地方仍然可以看見這些討厭死板的數學出現，那又會是個甚麼樣的驚奇？代表甚麼樣的意義呢？

我先舉一個在美術上很有名的例子，就是黃金分割率(Golden ratio: ψ=1.61803399…)。得到這個數字的數學只要有國中程度，就是當兩個數字a和b滿足 a+b 與a的比值等於a與 b 的比值即可，即 (a+b)/a=a/b。這個比值就叫黃金分割率ψ。如果一個長方形的長與寬的比值是ψ，那麼這個長方形就被稱為黃金矩形(Golden rerectangle)，被是古代希臘人到現代的藝術家視為最美的最和諧的矩形。這可以用以下的圖形(圖一)來表現，其中最大的長方形即是一個黃金矩形。

(圖一) 黃金矩形的圖示，其中 a/b=b/(a-b)=(a+b)/a

但是這個黃金矩形被稱作「黃金」不是沒有原因的。從圖一可以看出，如果從黃金矩形中扣掉正方形 B，剩下的A部分仍然是個黃金矩形，因為 b/(a-b)=a/b=(a+b)/a=ψ。如果我們如此分割下去，就會有圖二的樣子：

(圖二) 一系列黃金分割的矩形組合。

也就是說，這個黃金矩形內部有一個自然的層次關係，而且每一層與下一層之間的關係是固定的，就是ψ=1.618…數字。你可以很容易畫一下就知道，沒有其他的數字可以造成這樣的效果。接下來，我們可能會問，為何古希臘人認為這是最美的矩形呢？「美」的標準不是相對的嗎？這個問題嚴格來說可以是屬於視覺心理學(visual psychology)或更多稱作視覺認知(Visual perception)的範圍。詳細具體的原因還無法理解，因為這會牽涉到神經科學中對大腦作審美判斷時的機制。這方面的研究才剛起步不久。在附註一中我找到一個2007發表在公開期刊上的研究論文，這個研究很有意思的是，他們藉由觀察受試者腦部不同區域的反應，發現對美的事物的感受可以從兩種不互相排斥得不同機制產生。一種是對應於外在客觀的視覺刺激，而另一種是與個人主觀的經驗有關。我想，這說明了至少「美」這個概念可能是有一些普遍性與客觀性的因素在的。也許這就是黃金矩形這類的想法之所以不斷被心理學家討論與被藝術家實踐的原因吧！

再繼續講這奇妙的矩形之前，我們先看一些藝術家是如何在有意無意中使用這個黃金矩形的想法。首先我們先看古希臘時期，雅典的巴特農神殿(圖三)。這座由當時雅典最著名的建築師群設計建造的建築物，可以說是古希臘建築美學的精華。由圖中的黃金矩形我們可以看到這個建築物的整體高度與寬度形成一個黃金矩形面，且柱子的高度，橫梁的寬度與花紋的面積都是符合黃金分割率的。

(圖三) 古希臘時期的建築結晶，雅典的巴特農神殿

另一個可能會覺得更誇張的例子是，古希臘時期的雕刻家與後來在文義復興時期的達文西都深信一個最具美感的人體就是以黃金比例塑成的。這可以由圖四來看得出：一個完美男人的身高與肚臍到腳底得比值，或是肚臍到頸部得比值等等都應該是這個黃金比例。這個例子與巴特農神殿不同，因為前者是人工的製造物，自然可以隨意的認定這是美麗與否。但是人體畢竟不是那麼容易隨我們意思拉長縮短的，所以很可能這樣比例的人體與有在雕塑與繪畫裡出現，從未在真實的人中存在過(也許上帝不喜歡吧！)。當然這個比例還在許多藝術作品中可以看到，例如達文西的著名的蒙娜麗莎的面部(圖五)、印象派畫家的一些作品(圖六)與古埃及的金字塔(圖七)。還有很多，但我們就暫時先跳過了。

(圖四)按黃金比例繪製的人體圖。

(圖五) 達文西的蒙娜麗莎。許多重要的線條(或暗線)都落在黃金比力的關係裡面。達文西是科學與藝術的天才，沒有人懷疑他可以輕易地使用這黃金分割率來處理他的畫。

(圖六) 印象派畫家秀拉的作品。

(圖七) 古埃及的金字塔，其高度、底部半寬度與斜面長度的比值與黃金分割率ψ(phi) 有關。

如果以上的介紹還未使你覺得驚奇，那麼我們可以再看看這樣特殊的比例是如何在自然界出現的。如果我們把每一個被分割出來的正方型都用一段四分之一圓形連接起來，那我們就會畫出一條叫作對數螺線的曲線(Logarithmic spiral)或直接稱為黃金螺線(Goldren Sprial)，見圖八。

(圖八) 黃金矩形與對數螺線

可不要誤會，以為所有的螺線都長得差不多，隨便畫一個曲線就可以稱作黃金螺線。這是有嚴格的數學定義的，所以是可以分得清與其它螺線的不同。但是這個曲線偏偏在自然界特別有名，因為小至鸚鵡螺殼，或是一顆植物的花，大至一個星雲(以我們整個銀河為例，直徑約十萬光年，大概是一後面放二十一個零的公尺長(1,000,000,000,000,000,000,000 m)，都可以看到這個黃金螺線的蹤跡，見圖九到圖十二。當然，我們不必神秘兮兮地認為這些本身有甚麼秘密或暗語，畢竟這些自然界現象所產生的內部原因是很不相同的。

(圖九) 鸚鵡螺殼

(圖十) 某種植物(抱歉，不知道叫什麼名字) 的葉子

(圖十一) 玫瑰花瓣的黃金螺線

(圖十二) 一個典型的漩渦狀星雲

但是我們也必須公允的說，並不是每一偉大的藝術作品或自然界的每一個現象都是與黃金分割有關。但是這或許可以解釋，為何古代藝術家在追求美的表現時會喜歡用這個黃金切割的原則作圖。至於現代藝術家…容我這樣說吧，已經把「藝術」與「美」分開了。使得視覺上的美感在作品表現時往往並不是首先考慮的要素。但這裡的例子都是視覺相關的部分。其時在文學作品或音樂作品中也多有數學的奧妙隱藏在其中。文學的部分就有待於語言風格學的分析方法而音樂更有樂理或和聲對位的使用，就不一而足了。

        所以，看了這麼多圖片以後，對於我們起頭所談到的「數學」與文藝活動的創造力，能得到甚麼啟發呢？就我個人來說，也許這可以說明一件事，就是雖然美感可以有不同方式來引發，如我們前面所提的關於客觀的部分與主觀的部分，但是若能有一個作品，可以同時在兩者中都激發我們的感動，使理性與情感彼此互相激盪，那就肯定是一件更完美的作品了。如果自由僅是代表完全不設限地主觀表現，自我陶醉，毫無章法，那麼可能就反而未能真正體會到自由心靈的真正內涵。當然，反過來如果只是死板地限制在某種規範下，也就更毫無美感藝術可言。也許當我們在無比活潑的創造中仍保有一些客觀的規則或自我約束，那就可能有機會相激盪出更為深邃的感受，與更被普遍的接受能力，使一些作品的價值可以成為永恆。冥冥之中，我相信，這也是上帝在創造大自然時的心情… 使得數學或物理這種死板板的規律，竟然可以為我們帶來如此豐富美麗的世界。

(註一) Di Dio C, Macaluso E, Rizzolatti G (2007) The Golden Beauty: Brain Response to Classical and Renaissance Sculptures. PLoS ONE 2(11): e1201. doi:10.1371/journal.pone.0001201  http://www.plosone.org/article/info:doi/10.1371/journal.pone.0001201