EPR論戰持續30年, 雖然各種實驗結果都說明量子力學的正確性無誤, 但都沒有直接的實驗證據, 證明非局域性成立, 推翻EPR悖論. 古典物理思維不放棄他們堅持的宇宙本質, 所謂「物理實在」確實存有. 而量子精英們不斷努力, 解決EPR謬論. 直到1964年, John Bell用數學機率推演得出貝爾不等式, 卻與量子力學計算的結果不合. 因此, 大家公認此一結果: [違反貝爾不等式(violation of Bell inequality)] , 終結了局域性隱變數理論(欲以隱變數來解釋兩粒子關聯)解釋量子現象的可行性, 確立了量子力學的全面勝利, (大衛玻姆仍努力建立非局域性隱變數理論, 開啟之後的全像原理與隱纏序理論.) 並開啟量子糾纏這一個新領域.

以下我們用兩個實例來說明貝爾不等式.

[實例1]  自旋態

我們觀察AB兩粒子系統(產生相反關聯AB兩粒子後, 相互遠離)中的自旋態. 如同前面的電子正子系統, 不要只考慮一個方向的自旋分量, 而是選取3個方向abc的自旋分量, abc三者不必互相垂直. 自旋向上, 使用+表示; 自旋向下, 用-表示. 我們使用(++-)來表示(abc)的自旋態上上下. 如果AB粒子系統的自旋態, 在產生時就已經確定, 只是沒有表現出來. 那麼我們可以假設(abc)的自旋態, 是一種隱變數, 而量子疊加態只是方便解釋的說詞. 那麼我們就可以假設這些隱變數遵守數學機率系統, 也就是說:1).P≧0,以及2). ifαβ=0, then P(α+β)= P(α)+ P(β). 那麼B粒子在(abc)三個方向的自旋態, 就有八種可能組合. 我們以p(++-)來表示(abc)為(++-)的機率, 以p_ab(+-)來表示(ab)為(+-)的機率.

如果遠離後AB粒子的自旋態不產生關聯, 也就是說AB的自旋態遵守局域性守恆, 那麼我們可以測量B粒子一個方向的自旋態, 比方說a ,再測量A粒子另一個方向, 比方說b. 如此便可以同時確定B粒子的a與b方向(與A相反). 以多次測量的統計方法, 我們可以得到p_ab(+-), 同樣以統計方法, 我們可以得到p_bc(+-)以及 p_ac(+-).

依據數學機率系統, 我們可以得到:

p_ab(+-)=p(+-+)+p(+--)        [式1]

p_bc(+-)=p(++-)+p(-+-)        [式2]

p_ac(+-)=p(++-)+p(+--)        [式3]

簡單計算, 得

p_ab(+-)+p_bc(+-)=p_ac(+-)+p(+-+)+p(-+-)   [式4]

因為p(+-+)≧0, p(-+-)≧0    [式5]

所以p_ab(+-)+p_bc(+-)≧p_ac(+-)  [式6]

以物理系統等向性判斷,  p_ab(+-)只與ab夾角θ有關. 因此[式6]可以改寫為

p(θ_ab)+ p(θ_bc) ≧ p(θ_ac)   [式7]

式7稱為貝爾不等式.

依量子力學理論, 可以明確得出 p(θ)=1/2 sin²(θ/2)    [式8]

由[式8]計算, 很容易發現有許多方向選擇的abc_(註一) 不遵守[式7]. 顯然, 貝爾不等式背離量子力學的結果.

也就因此, 古典隱變數理論, 全盤退出.

註一, 比方說選擇θ_ab =20度, θ_bc =20度, θ_ac =30度.  sin²(10)+ sin²(10)=0.0603 , sin²(15)=0.06699 ,  sin²(10)+ sin²(10)≦sin²(15).  另選擇θ_ab =24度, θ_bc =28度, θ_ac =40度. sin²(12)+ sin²(14)=0.10175  sin²(20)=0.11698  p(θ_ab)+ p(θ_bc) ≦ p(θ_ac)

[實例 2] 偏振態

光束的偏振, 很容易了解. 但是光子的偏振, 就沒有人曉得真正是什麼. anyway, 我們以實驗結果觀察. 以光子發射源發射偏振光子, 當偏振鏡軸向與光子偏振同方向時, 偵測到光子的機率=1. 當偏振鏡軸向與光子偏振角度垂直, 偵測到的機率=0. 依量子力學計算說, 當角度θ介於0~90, 其偵測到的機率=cos²θ. 而當光子成對出現時, 這對欒生光子, 有相反的偏振性, 這是一種強相關. 也就是說,對於兩個同方向的偏振鏡, 一個光子能通過, 另一個光子就一定不能通過. 對於成θ角的兩個偏振鏡, 欒生光子同時通過的機率=1-cos²θ= sin²θ.

實例 2的實驗裝置: 中央放置一個反方向雙光子發射源, 同時向上下兩端發射欒生光子. 如果上下兩端的偏振鏡軸向一致, 那麼在上下兩端的光子偵測器上, 偵測記錄便會完全相反. 偵測到光子時記錄=1, 沒有偵測到記錄=0. 我們對一個長系列的欒生光子組做偵測記錄, 比方說100對欒生光子. 那麼記錄數據可能是: 上端為10001101011100----, 下端為01110010100011----- . 如果欒生光子的偏振方向是在產生時就已經確定, 並且分離後不再產生關聯互動, 那麼如果將上端偏振鏡軸順時鐘轉30度(或α角), 得到的新數據, 會與原來數據一致的機率有cos² 30度=3/4, 也就是變動後的位元與下端數據一致的機率=1/4(sin² 30). 如果將下端偏振鏡軸逆時鐘轉30度(β), 得到的新數據 會與原軸數據一致的機率有cos² 30度=3/4, 也就是變動後的位元與上端(未轉動)數據一致的機率=1/4.

此時, 如果同時將上端偏振鏡順時鐘轉30度(α), 下端偏振鏡逆時鐘轉30度(β), 依據數學機率系統我們將兩項效果加總可以得到: 

上下數據一致的機率=單獨轉動上軸+單獨轉動下軸-單次記錄數據同時變動

上下數據一致的機率=sin² 30(α) + sin² 30(β)-上下同時改變

上下數據一致的機率=1/4+ 1/4-上下同時改變≦1/2  

此式稱為貝爾不等式

但是依據量子力學說, 當角度θ=60度時, 數據一致的機率= sin²60=3/4>1/2

顯然, 貝爾不等式背離量子力學的結果.

看完實例後, 我們提出數學的一般敘述.

[數學敘述]

有兩個粒子(或系統)A和B, 粒子A有兩種物理性質:甲和乙. 它們是隨機出現的. 粒子B也有兩種物理性質:丙和丁, 它們也是隨機出現的. 這四種物理性質, 各別都只有兩種可能性. 當進行測量時可以確定出現的結果, 我們以QRST 符號表示性質甲乙丙丁的出現結果, 而各別給予+1和-1的值. 也就是說, 給定QRST的數值=+-1.

因此, 我們有個簡單數學式:QS+RS+RT-QT=(Q+R)S+(R-Q)T=+-2 恆成立.

物理性質甲乙丙丁在測量前有機率分配 p(Q=q), p(R=r), p(S=s), p(T=t), 以及p(Q=q,R=r,S=s,T=t)

我們看看數學式QS+RS+RT-QT的期望值:

〈QS+RS+RT-QT〉=Σp(Q=q,R=r,S=s,T=t)(qs+rs+rt-qt)    for q,r,s,t=+-1

≦Σp(Q=q,R=r,S=s,T=t)*2  for q,r,s,t=+-1

=2

所以粒子AB的物理性質甲乙丙丁有如下關係:

〈QS+RS+RT-QT〉=〈QS〉+〈RS〉+〈RT〉-〈QT〉≦2

數學式〈QS〉+〈RS〉+〈RT〉-〈QT〉≦2稱為貝爾不等式, 通常的量子系統 是會違反此貝爾不等式.