大致複習完量子力學的概念, 可以準備進入量子資訊學領域. 在進入量子資訊學之前, 我們再回顧一下量子力學中的 數學工具: 線性代數 ( Dirac 記號 ), 便利 量子資訊中的符號溝通與 數學演算.

12.[Dirac 記號 ] Dirac notation

量子力學中的 Dirac notation, 就是數學的 線性代數, 只是符號不同.

|ψ>=(v₁,v₂,v₃,---)^T v₁,v₂,v₃,-- 可以為複數

<ψ|=(v₁^*,v₂^*,v₃^*,---) * 表共軛複數

在 量子力學中 operator, 指的都是矩陣. 矩陣A可以作用在 向量上: A|ψ>

<φ|A|ψ>是|φ> 與 A|ψ> 的內積.

三維歐氏坐標基底 向量: |i>, |j>, |k>, 一個 3*3 的 矩陣 A 的元素 A_ij= <i|A|j>

特徵向量與特徵值

如果A|V>=λ|V>, A 是一個 矩陣 , λ 是一個複數 . 則 |V> 稱為 A 的 eigenket, λ 稱為 A 的 eigenvalue

Hermitian operator

如果 A^†= A, 我們稱 A 為 Hermitian operator. 它有一個重要性質: 如果 |a>, |b> 都是 eigenket, 而且 a ≠ b 則 <a|b>=0. 也就是說, 在 n 維空間, 對每一個 Hermitian operator, 可以找到一組 n 個互相垂直的 eigenket, 可以 構成一組 基底 向量.

量子力學通常用 Hermitian operator 來定義測量或觀察; 量子電腦使用 Hermitian operator 來做量子閘 (quantum gate).

13.[貝爾態]

就最簡單的量子糾纏, 對兩粒子AB系統實施局域測量, 而這個測量態具有兩種互斥的輸出, 註記為+與-. 其中存在兩種可能的關聯方式: 相同關聯(++) (--), 或相異關聯(+-) (-+). 有時為習慣起見, 記為(00) (11) 或(01) (10).

相同關聯的兩種可能途徑(00) (11)有兩種概率幅, 相加成或相抵消: +1/√2, +1/√2 與+1/√2, -1/√2.

相異關聯(01) (10)也有兩種概率幅, 相加或相消: +1/√2, +1/√2 與+1/√2, -1/√2

這四種概率幅所組成的態稱為貝爾態:

相同關聯相加成    1/√2 (00) +1/√2 (11)

相同關聯相抵消    1/√2 (00) -1/√2 (11)

相異關聯相加成    1/√2 (01) +1/√2 (10)

相異關聯相抵消    1/√2 (01) -1/√2 (10)