數學與詩—附大數學家丘成桐訪談語錄

初唐詩人陳子昂的名句《登幽州台歌》：

前不見古人

後不見來者

念天地之悠悠

獨愴然而涕下

一般的語文解釋說：上兩句俯仰古今，寫出時間綿長；第三句登樓眺望，寫
出空間遼闊。在廣闊無垠的背景中，第四句描繪了詩人孤單寂寞悲哀苦悶的
情緒，兩相映照，分外動人。

從數學上看來，這是一首闡發時間和空間感知的佳句。前兩句表示時間可以
看成是一條直線（一維空間）。以自己為原點，前不見古人指時間可以延伸
到負無窮大，後不見來者則意味著未來的時間是正無窮大。後兩句則描寫三
維的現實空間：天是平面，地是平面，悠悠地張成三維的立體幾何環境。全
詩將時間和空間放在一起思考，感到自然之偉大，產生了敬畏之心，以至愴
然涕下。這樣的意境，是數學家和文學家可以彼此相通的。進一步說，愛因
斯坦的四維時空學說，也能和此詩的意境相銜接。

思念著往昔的線性相關

任憑時光飛逝

指向你的永遠是那不變的愛情向量

多想這世界是兩個人的集合

瀰漫著天長地久的二元關係

在這有限維空間中

你的坐標就像天上的寒星

 一一映射著無解的愛情方程

在溫馨的等價關係中
 

喜歡你在連續之中逼近我的極限

經過劍橋三一學院

我以牛頓之名許願

思念就像傅利葉級數一樣蔓延

當空間只剩下拓撲的語言

映射就成了永垂不朽的詩篇

我給你的愛寫在Banach空間

深埋在康托爾集合裡面

超越數去超越永遠

那一絕對收斂的數列

一萬年都不變

春風秋雨的線性空間中

最高的數學和最高的詩一樣，都充滿了想像，充滿了智慧，充滿了創造，充
滿了和諧，也充滿了挑戰。詩和數學又都充滿靈感，充滿激情，充滿人類的
精神力量。

數學家維納認為數學是一門精美的藝術。事實上，數學從創作理念和美學準
則上更像詩歌。數學本質上不屬於自然科學，數學更接近於藝術和哲學。

宋代詩人陸游告誡兒子說：『汝果欲學詩，功夫在詩外。』這個詩外就是詩
人對日常生活和大自然細緻的觀察、體驗、感知，這是詩歌創作的源泉。

做數學研究也與詩歌創作類似，如果沒有對數學從宏觀和整體上有所領悟，
對數學缺乏美感，是不可能作出真正有學術價值的文章的。數學與詩歌最大
的共同點是追求簡潔。詩歌力圖通過最簡潔的語言，抒發詩人的情懷，表達
深邃的哲理；數學則追求在最少的條件下推出盡可能廣泛和深刻的結論。

數學跟詩歌的創作都需要有想像力和直覺。李白《望廬山瀑布》中的詩句『
飛流直下三千尺，疑是銀河落九天』就極富直覺。這種想像力和直覺是源於
詩人的形象思維。數學成果的創造也有賴於非邏輯的形象思維。數學家維爾
說：『一個數學家必須要具有詩人的氣質。』」

歌德說：「只有通過藝術，尤其是通過詩，想像力才能得到激活。」朱熹的
《觀書有感》這首寓意深刻、富有哲理的詩。詩文是：「半畝方塘一鑒開，
天光雲影共徘徊。問渠哪得清如許？為有源頭活水來。」在朱熹看來，讀書
正是使人們保持頭腦清新和思維敏捷的「源頭活水」。

數學如中國詩詞一般美麗，因為數學即是詩，詩即是數學。詩是一種語言凝
練、結構跳躍、富有韻律、形象地反映生活和表達思想感情的文學體裁。也
就是說，詩的基本特徵是凝練性、跳躍性和音樂性。詩可以分成抒情詩和敘
事詩，格律詩和自由詩等。詩是精粹的語言藝術，詩人必須運用形象思維來
進行創作。數學是一種抽像思維活動，數學家必須運用邏輯思維進行工作。
兩者好像無緣，但它們都以和諧、對稱、簡潔、嚴謹而著稱。若把數學和詩
歌聯姻，會是一種什麼樣的效果？當代著名作家秦牧說：「詩歌中適當地引
用數字，有時的確情趣橫溢，詩意盎然。」唐代著名詩人李白的「朝辭白帝
彩雲間，千里江陵一日還，兩岸猿聲啼不住，輕舟已過萬重山」，把數字一
、二、千、萬揉入詩中，生動貼切，妙趣橫生。又如宋代邵雍寫道：「一去
二三里，煙村四五家，亭台六七座，八九十枝花。」寥寥20 個字，用十個
數字描寫了一路的景物，通俗自然，膾炙人口。

數學詩

從零看人生

零，  虛懷若谷

面對世界的

加減乘除的清算

不做無謂的爭執

它給予人類

圓滿的修行啟示

提升人生

達到無我的最高層次
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我的心智始終把學問探討，

使我困惑不解的問題已經很少。

七十二年「我說錯話了，對不起」日夜夜苦苦尋思，

如今才懂得我什麼也不曾知曉。

這是11世紀波斯（今伊朗）著名數學家奧馬‧海牙姆（Omar Khayyam, 1048
～1131）寫的四行詩。古稀之年、滿腹經綸的數學家反省自己，卻發現自己
一無所知。

延伸閱讀：丘成桐訪談語錄：

獲得費爾茲獎的兩位華人之一的丘成桐院士，是一位相當迷樣的科學家，在
他的身上除看到偉大數學家的身影，也能看到大文學家的風範，研究數學之
外，他還飽讀經書，學富五車，擁有豐富的文學素養，他愛看紅樓夢，背誦
秦漢和六朝的古文，讀司馬遷的自傳、報任安書、李陵答蘇武書、陶淵明的
歸去來辭、歌德的浮士德等等文章。在他演講過程中，經常引經據典；文天
祥「風簷展書讀，古道照顏色」、元稹「曾經滄海難為水，除卻巫山不是雲
」、韓愈「苟余行之不迷，雖顛沛其何傷」、…等名言，朗朗上口，讓人折
服。

　　丘成桐訪談語錄：

　　文學激情 讓我立志做大學問

我個人認為：感情的培養，是做大學問最重要的一部份。清朝作家汪中在《
漢上琴台之銘》中有句云：「撫弦動曲，乃移我情。」這是引古文《琴苑要
錄》：「伯牙學琴於成連，三年而成，至於精神寂寞，情之專一，未能得也
……伯牙心悲，延頸四望，但聞海水汨沒，山林谷冥，群鳥悲號，仰天長歎
曰：『先生將移我情。』」從此以後，伯牙彈琴就達到成連要求的境界。這
說明，一個人的感情，是可以變動的。

這一段話，對我深有感觸。立志要做大學問，只不過是一剎那間的事。我年
少時，並不喜歡讀書，在家鄉的平原上嬉戲玩耍，也在沙田的山丘和海濱遊
戲。與同伴在一起，樂也融融，甚至逃學半年之久。真可謂倘佯於山水之間
，放浪形骸之外。

在這期間，唯一的負擔是父親要求我讀書練字，背誦古文詩詞，讀近代的文
選，也讀西方的作品。但是當時我喜愛的不是這些書，而是武俠小說，從梁
羽生到金庸的作品都看了一遍。父親認為這些作品文字不夠雅馴，不許我看
，所以我只得躲在洗手間偷偷閱讀。

至於名著如《水滸傳》、《三國傳義》、《紅樓夢》等則是公開的閱讀，因
為這是父親認為值得看的好書。《三國演義》和《水滸傳》很快就引起我的
興趣，但是讀《紅樓夢》時僅看完前幾回，就沒有辦法繼續看下去。

14歲時，父親便去世了。這或許是我一生中最大的打擊。父親去世後，我將
《紅樓夢》仔細地讀過一遍，也開始背誦其中的詩詞。由於父親的早逝、家
庭的衰落，與書中的情節共鳴，開始欣賞而感受到曹雪芹深入細緻的文筆，
絲絲入扣地展現不同的人物、情景，逐步描寫出舊社會的一個大悲劇。40
多年來，我有空就看這部偉大的著作，想像作者的胸懷和澎湃豐富的感情，
也常常想像在數學中如果能夠創作同樣的結構，是怎樣偉大的事情。

中國文學外，我也讀西方的文學，例如歌德的《浮士德》。這本歌劇描述博
士浮士德的苦痛，與《紅樓夢》相比，一是天才的苦痛，一是凡人的苦痛。
描寫苦痛的極至，竟可以說得上是壯美的境界，足以移動人的性情。

　　十年磨一劍 文學給了我堅持的力量

做研究生時，我有一個想法，微分幾何畢竟是涉及分析（即用微積分為工具
）和幾何的一門學問，幾何學家應該從分析著手研究幾何。況且微分方程的
研究已經相當成熟，研究幾何大有可為。雖然一般幾何學家視微分方程為畏
途，我決定要將這兩個重要理論結合，讓幾何和分析都表現出它們內在的美
。

在柏克萊的第一年，我跟隨Morrey教授學習偏微分方程，當時並不知道他是
這個學科的創始者之一。從他那裡我掌握了橢圓形微分方程的基本技巧。在
研究院的第二年我才開始跟隨導師陳省身先生學習複雜幾何。

畢業後，在我的學生和朋友的合作下，逐漸將幾何分析發展成一個重要的學
科，也解決了很多重要的問題。這是一種奇妙的經驗，每一個環節都要花上
很多細緻的推敲，然後才能夠將整個畫面構造出來，正如曹雪芹寫作《紅樓
夢》一樣。

　　尼采說：「一切文學，余愛以血書者。」

　　曹雪芹說：「字字看來皆是血，十年辛苦非尋常。」

我們眾多朋友創作的幾何分析，也差不多花了十年才成功奠基。不敢說是「
以血書成」，但每一次的研究都很花費工夫，甚至廢寢忘餐，失敗再嘗試，
嘗試再失敗，經過不斷的失敗，最後才見到一幅美麗的圖畫。

　　數學創作如寫小說 但不能脫離現實

簡潔有力的定理使人喜悅，就如讀《詩經》和《論語》一樣，言短而意深。
有些定理，孤芳自賞；有些定理卻引起一連串的突破，使我們對數學有更深
入的認識。每一個數學家都有自己的品味和看法，我本人則比較喜歡後一類
數學。

當定理證明後，我們會覺得整個奮鬥的過程都是有意思的，正如智者垂竿，
往往大魚上釣後，又將之放生，釣魚的目的就是享受與魚比試的樂趣，並不
在乎收穫。

從數學的歷史看，只有有深度的理論才能夠保存下來。千百年來，定理層出
不窮，但真正名留後世的卻是鳳毛麟角，這是因為有新意的文章實在不多，
有時即使有新意，但是深度不夠，也很難傳世。

當年我看武俠小說，很是興奮，也很享受，但是很快就忘記了。在閱讀有深
度的文學作品時，卻有不同的感覺。有些武俠小說雖然很有創意，但結構不
夠嚴謹，有很多不合理的元素，與現實相差太遠，最終不能沁人心脾。

我們幾個朋友在研究和奮鬥過程中，始終不搞太抽像的數學，總願意保留大
自然的真和美。數學創作也如寫小說，總不能遠離實際。紅樓夢能夠扣人心
弦，乃是因為這部悲劇描述出家族的腐敗、社會的不平、青春的無奈，是一
個普羅眾生的問題。好的數學也應當能接觸到大自然中各種不同的現象，才
能夠傳世。

今日有些名教授，著作等身，汗牛充棟，然而內容往往脫離現實。一生所作
，不見得比得上一些內容與實際有關的小品文，數十載後讀之，猶可回味。
我自己做研究，有時也會玄思無際，下筆滔滔，過後才知空談無益，不如學
也。

　　方程的簡潔美 引導我找到研究方向

空間曲率的概念對我具有極大的吸引力，我從廣義相對論中知道所謂Ricci
曲率的重要性。通過愛因斯坦方程，它描述物質的分佈，這個方程的簡潔和
美麗使我詫異。所以我始終在這個問題上圍繞著不停地打轉。

我認為瞭解Ricci曲率，是瞭解宏觀幾何的最重要一環，但幾何茫茫，無從
著手。有一天很高興地發現卡拉比先生在1954年時有一篇文章，敘述在複雜
幾何的領域中，Ricci曲率有一個漂亮的命題，但他卻沒有辦法證明這個命
題。當時我很興奮，但也覺得它不大可能是真實的，因為這個命題實在太美
妙了。所有年青的朋友都是這麼說，甚至我的導師也是這麼說。

陳先生甚至認為這個研究方向的意義不大，我卻固執地認為對卡拉比猜想總
要找出一個水落石出的答案。我和我的朋友鄭紹遠花了不少工夫，去建立跟
這個問題有關的工作，終於在5年後的1976年完成了這個重要猜想的證明。

這個猜想在1976年全部完成，我同時應用它解決了代數幾何裡好幾個基本問
題。毫無疑問，這是一個漂亮的定理，也打開了幾何分析的一個大門。

當時我27歲，剛結婚，正在享受人生美好的時刻，也獨自地欣賞這個剛完成
的定理的真實和美麗，猶如自身的個體融入大自然裡面。當時的心境可以用
下面兩句來描述：「落花人獨立，微雨燕雙飛。」

由這個定理引起的學問，除了幾何分析上的Monge-Ampere方程外，在代數幾
何上獨樹一幟，以後在弦學理論成為一個重要的宇宙模型：卡拉比‧丘空間
。

　　學科無界限 從物理學家那裡學習物理

在1984年弦理論成為理論物理的重要一門學科以後，我以前做的好幾個工作
都受到理論物理學家的歡迎。我也深受物理學家對數學洞察力的影響，有十
多位跟隨我的博士後，都是物理學博士。我從他們那裡學習物理。

最令我驚訝的一次是，我的博士後Brian Greene跑到我的辦公廳，向我解釋
他最新的發現，就是在卡拉比-Yau空間中，存在所謂鏡對稱的觀點，這個發
現對代數幾何有極大的衝擊，影響至今。它的結論至為漂亮，從不同角度解
釋了代數幾何裡百年來不解的現象，但物理學家沒有辦法給出一個證明，六
年後在眾多數學家努力的基礎上，劉克峰、連文豪和我終於找到一個滿意的
證明。

與物理學家合作是愉快的，可以有跳躍性的進展，而又不停地去反思，希望
能夠從數學上解釋這些現象，在這個過程中往往推進了數學的前沿。

過去二十多年，我也花了一些工夫去做應用數學的工作，一方面和金芳蓉在
圖論上的合作，一方面和我弟弟共同研究控制理論。近年來更和顧險峰等合
作做圖像處理的研究。

這些工作都和我從前研究的幾何分析有關，起源於當年我在斯坦福研究調和
函數的梯度估計；我還記得我傍晚時躲在辦公室裡，試驗用不同的函數來算
這些估值，捨不得去看斯坦福校園落日的景色。做科研確實付出代價，但它
的快樂無窮。

　　做學問的道路五花八門 讀《史記》讓我選擇了斯坦福

除了看《紅樓夢》外，我也喜歡看《史記》、《漢書》。這些歷史書不僅發
人深省，文筆通暢，甚至啟發我做學問的方向。

王國維說學問第一境界是「昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路。」做
好的工作，總要放棄一些次要的工作，如何登高望遠，做出這些決斷，大致
上建基於學者的經驗和師友的交流上。

做學問的道路往往是五花八門的，走什麼方向卻影響了學者的一生。歷史能
教導我們在重要的時刻如何做決斷。複雜而現實的歷史和做學問有很多類似
的地方，歷史人物做的正確決斷，往往能夠為學者選擇方向提供一個良好的
指南針。

我剛畢業時，蒙幾何學家西門斯邀請到紐約大學石溪分校做助理教授。當時
石溪聚集了一群年輕而極負聲望的幾何學家，在度量幾何這個領域上可說是
世界級重鎮。我在那裡學了不少東西。

一年後又蒙奧沙文教授邀請我到斯坦福大學訪問，接著斯坦福大學聘請我留
下來。但是當時斯坦福大學基本上沒有做幾何學的教授，我需要做一個決定
。這時記起《史記》敘述漢高祖的事跡。劉邦去蜀，與項羽爭霸，屢敗屢戰
。猶駐軍中原，無意返蜀，竟然成就了漢家四百多年的天下。

　對我來說，度量幾何的局面太小，而斯坦福大學能夠提供的數學前景宏大
得多，所以決定還是留在斯坦福做教授，與Schoen、Simon合作。現在想來
，這是一個正確的決定。（林丹編輯：房晶