真是好題!我從討論根的個數做起:若僅一實根,則f(x)必為+-(x+-1)--->有四個;若有二個實根,令f(x)=ax^2+b^x+c,由判別式不難看出符合條件之f(x)亦有四個;若有三個根,令f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,令三根為x1,x2,x3,則根與係數關係得知三根和=+-1,兩兩乘積和=+-1,三根積亦為+-1,接著將三根解出,由(x1+x2+x3)^2=x1^2+x2^2+x3^2+2(x1x2+x2x3+x3x1),得出x1^2+x2^2+x3^2=3,再由算幾不等式知x1^2+x2^2+x3^2>=3,故此時恰為等號成立之條件,故x1^2=x2^2=x3^2,可解出三根為1,1-1或1,-1,-1(因為需符合三根和=+-1),再求出此時f(x)=+-(x-1)^2(x+1)或+-(x+1)^2(x-1),有四個;在四個根以上時採用以上討論法可得知會出現矛盾(不符合算幾不等式),故此題f(x)有12個.
真是好題!
字體：小 中 大
