我想應該真的可以解決此題了,首先可以確定一件事實:對於有最大面積的三角形ABC,其中A、B、C分別在小、中、大圓上,必有過A的小圓切線平行直線BC,同理必有過B的中圓切線平行直線AC,過C的大圓切線平行直線AB,這項事實可以反證法說明,再配合圖形可容易看出此最大面積之三角形存在且唯一(不失一般性可令定點A(1,0),BC直線需平行過A之小圓切線,同時又過B的中圓切線平行直線AC,過C的大圓切線平行直線AB看出唯一性)

接著利用座標化:可令A(1,0),B(x,y1),C(x,y2),則由過B的中圓切線平行直線AC,過C的大圓切線平行直線AB可得同一條方程y1*y2=-x(x-1)....(第一式),又B、C分別在中圓、大圓上,故有x^2+y1^2=b^2,x^2+y2^2=c^2,將第一式二邊平方,再利用y1^2=b^2-x^2,y2^2=c^2-x^2代入得出x的三次方程:2x^3-(b^2+c^2+1)x^2+b^2*c^2=0,利用著名的三次方公式解(即卡丹公式解),可以確定x可能會出現不可作的三次方根線段,故我認為此題應該尺規作圖做不出來(我以b=2,c=3嘗試,此三次方程為x^3-7x^2+18=0,此方程解出後三根皆為不可作),不過倒是可以確定取法,即B點的x座標須符合2x^3-(b^2+c^2+1)x^2+b^2*c^2=0(使用卡丹公式解出),接著過B做平行A之小圓切線的直線交大圓於C,三角形ABC即為所求.

我想應該可以解決該題面積最大值問題:

令小圓上一點A,中圓上一點B,大圓上一點C,不失一般性令其OA、OB夾角x,OB、OC夾角y,OC、OA夾角z,故可得三角形面積為(1/2)(absinx+bcsiny+casinz),其中確定x、y、z皆小於等於Pi,利用sinx的函數凸性,得知absinx+bcsiny+casinz<=(ab+bc+ca)sin((abx+bcy+caz)/(ab+bc+ca)),且等號成立在x=y=z,接著討論x+y+z的值,在一般狀況下A、B、C呈逆時針排列,且x+y+z=2Pi,因此得出最大面積時應為x=y=z=120度;若x+y+z不等於2Pi,則必有如x+y=z此種情形(當然也其他情形,不過都是這種形式,圖形畫出觀察即可),此時又須x=y=z,得出x=y=z=0,此為不合.

該不等式常見於競試題目中,我想你應該不陌生才對.

我猜想你會提出這個問題,應該是為了解那個三圓兩兩相切,果然被我猜中,不過這個方法我之前試過了,但是無功而返,有待努力中!!

恩,聽你這樣講,好像之前岡凌有提過,不過我昨天在化簡時沒有想到說,其實我昨天在做時已經很晚了,但是靈感突然湧現,加上導出引理結果著實令我吃了一驚,想不到竟然如此美麗(這就是數學吸引人的地方,呵呵),就趕緊上網PO了,對了,提起岡凌,你那些同學們怎麼都消失了啊?彥彰,岡凌,騰逸好像都蒸發了?@@還是他們都沒來看你的網誌阿?看來大家都有一堆事情要忙了,大概也鮮少碰數學了.

那題面積要求最大值的題目我再想想,如果有什麼結論再上來討論.

我想此題應該可以獲得解決,先作一個引理的推導:給定二個半徑不同的同心圓,在小圓上取一定點A,大圓上取一點動點B,則平面上使ABC為正三角形之點C軌跡恰為二個圓.

證明:不失一般性下,令小圓圓心為原點O(0,0),取小圓上一定點A(1,0),大圓上動點B(rcost,rsint),先考慮逆時針將B對A點轉60度,可利用矩陣點旋轉或複數極式旋轉求出點C為x=(1/2)(rcost-1)-((根號3)/2)rsint+1,y=((根號3)/2)(rcost-1)+(1/2)rsint,移項整理得2x-1=rcost-(根號3)rsint,2y+(根號3)=(根號3)rcost+rsint,二式平方相加得出(x-1/2)^2+(y+(根號3)/2)^2=r^2,得証.

故若順時針旋轉可得出另一C點軌跡亦為圓.

回到原題,利用該引理可得出一個漂亮的作法:給定小中大三同心圓,令其圓心為原點O,作x軸,交小圓於A(1,0),根據該引理若動點B在中圓上,則逆時針旋轉必得出C點軌跡為圓,且圓心恰在小圓上,即(1/2,-(根號3)/2),半徑恰為中圓半徑r,該圓心與原點連線恰與x軸銳夾角為60度,因此我給定一個尺規作圖法:

取小圓A(1,0),以A為圓心,小圓半徑1為半徑畫弧交小圓於第四象限點P,再以P為圓心,中圓半徑r作圓,交大圓於C1,C2(假設C1在A右側,C2在A左側),以C1為圓心,C1到A之距離為半徑畫弧交中圓於B1(注意須取AB1C1為逆時針順序),三角形AB1C1為所求,當然可利用同樣方法對C2取出B2使其成為正三角形AB2C2.

利用此作法不難作出若為順時針旋轉時的正三角形,而且可以確定可作出圖之條件,即圓P須與大圓有交點才行,如此即可推出三圓半徑在可做情形下的關係式.