我只能說,該引理確實起了關鍵性作用,唉,一直想不到這個技巧,難怪解不出來,欲證明該引理,可先由一個例子:求(2^32-1,2^20-1),可令d=(2^32-1,2^20-1),則d|2^32-1,d|2^20-1,二式相減得d|2^20*(2^12-1),又d為奇數,故d|2^12-1,再由d|2^20-1,二式再相減,...如此繼續,到最後由輾轉相除法原理得知必有d|2^(32,20)-1=2^4-1,故d恰等於2^4-1,觀察此例即不難証出該引理.

現在回到原題,可先假設有m|2^m-1,m為大於1之正奇數(偶數明顯不成立),則m必有一個最小的質因數p,可使p|m,因此當然有p|2^m-1,再由費馬小定理知p|2^(p-1)-1,故p|(2^m-1,2^(p-1)-1)=2^(m,p-1)-1(由該引理),而(m,p-1)必互質,即(m,p-1)=1(若不互質,則表示m還有比p小的質因數,此為矛盾),所以有p|1,得到矛盾,原命題得証.

我認為此題確實不容易,而且我被困擾了許久,現在終於解出來了,也算是放下了一塊大石,對了,那書上是怎麼証的啊?可否讓我欣賞一下??