90年新竹區數學複賽2 第三題 - 都都的網誌

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90年新竹區數學複賽2 第三題

2009/07/27 14:36:49瀏覽551｜回應5｜推薦1

對任意實數a,b,c,

當a>b時,將(a,b,c)調整為( a-b , b , c-b ) ;

當a<b時,將(a,b,c)調整為( a , b-a , (bc-a^2)/b-a );

當a=b時,維持不變;

我們稱這樣的過程為一次調整.

若(a,b,c)經過幾次調整後可得到(1,1,k), 則 k = ?(用a,b,c表示)

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這題其實嚴謹解法我還沒想出來...

我的方法就是用湊的...XD 反正湊一湊就出來了= =真神奇...

各位有比較"可以寫在紙面上"的解法的話歡迎提出來一起討論^^

答案: 請拖曳反白 bc - ab + 1

( 知識學習｜科學百科 )

引用網址：https://classic-blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=ivan5chess&aid=3171355


	回應文章


	陳

陳

2009/07/29 00:13

此題出的漂亮,不過我的解法有點長,簡略如下:第一種連續變換n次有(a,b,c)--->(a-nb,b,c-nb);而第二種變換需變形為(a,b,c)--->(a,b-a,a+(bc-ab)/(b-a)),則第二種連續變換m次有(a,b,c)--->(a,b-ma,a+(bc-ab)/(b-ma)),注意此式意義為:(a,b,c)由第二種連續變換m次具有(p,q,p+(bc-ab)/q),接著就不難驗證當(a,b,c)由第一種連續變換再經第二種連續變換(次序對調皆無妨),皆可具有(a,b,c)--->(p,q,p+(bc-ab)/q)之形式,而當最後變換成(1,1,k)時,表示最後依次變換時為p=q=1,故此時k=1+bc-ab,特別地,針對二種情形分開討論:若a=1,b>a時,則(a,b,c)--->(1,1,1+bc-b),此時k=1+bc-b(亦符合k=1+bc-ab);若b=1,a>b時,則(a,b,c)--->(1,1,c-a+1),此時k=c-a+1(亦符合k=1+bc-ab),故k恆為1+bc-ab.

我不得不佩服此題構思巧妙,上述解法詳細寫會有點長,不過應該可以理解,而能出現(1,1,k)時須a,b為互質的正整數,這部份則討論a,b為有理數,無理數即可得証.

在互質正整數a,b的這種情形下,可由輾轉相除法原理得知最後必可出現(1,1,k)!!

都都(ivan5chess) 於 2009-07-29 09:24 回覆：

嗯...其實彬哥你的解法跟我之前的差不多...

不過我沒有像你降明確找出

當(a,b,c)由第一種連續變換再經第二種連續變換(次序對調皆無妨),皆可具有(a,b,c)--->(p,q,p+(bc-ab)/q)之形式

不過我的確是有看出他們這種的規律...然後在湊出來QQ


	陳

陳

2009/07/28 22:03

其實可以調成(1,1,k),則一開始必須a,b為互質正整數才行.

都都(ivan5chess) 於 2009-07-29 09:17 回覆：
嗯嗯的確


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所以說

2009/07/28 14:12

為何要出一個定義域過大的題目？

取 a, b, c in C(複數) 不是更扯嗎？

只是想問：a, b, c in Z or Q or R or C 在不同領域是否有不同解法？不同答案？

假如解法相同，那搞那麼複雜又為何？

都都(ivan5chess) 於 2009-07-28 16:20 回覆：

恩...

也對耶......原來時何先生是這個意思^^

不過題目的確是降沒錯...

我覺得可以看成(我是降看啦XD|||...)

在"若(a,b,c)經過幾次調整後可得到(1,1,k), 則 k = ?(用a,b,c表示)"之前可以看成這個調整的定義

而最後那句則是把所要求的拉出來問,有點像是特例的感覺...


	時和等級：8 留言｜加入好友

(0.1， 0.2， 0.3)

2009/07/28 12:42

怎能調到 (1， 1， k)？

都都(ivan5chess) 於 2009-07-28 12:51 回覆：
不是每組(a,b,c)都可以調到(1,1,k)的^^


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是正整數?

2009/07/28 10:49

對任意實數a,b,c, (Or, 是正整數?)

當a>b時,將(a,b,c)調整為( a-b , b , c-b ) ;

當a<b時,將(a,b,c)調整為( a , b-a , (bc-a^2)/b-a );

當a=b時,維持不變;

我們稱這樣的過程為一次調整.

若(a,b,c)經過幾次調整後可得到(1,1,k), 則 k = ?(用a,b,c表示) (所以 a 和 b 是互質？)

都都(ivan5chess) 於 2009-07-28 12:37 回覆：

是實數沒錯喔~

題目意思是從(a,b,c)開始一直調整...最後會變成(1,1,k)

問如何用一開始的(a,b,c)表示k?