「沒有知識作基礎的推理是空的，沒有思維的知識是死的」。一九六０年代數學研究發現，數學的教學，老師是專家學生是生手，學生的學習是流於模仿與記憶，死背公式或照著老師的方法去做就對了。
　　一九七０年代以後，面對新世紀的需求，環境的變遷，有效教學的需求，幾個值得思考的問題應運而生。
　一、數學教育的目標是什麼？
　二、我們是否願意見到學生，碰到問題時說老師沒教呢？
◎茲從幾個實例出發談學習的現象：
　　(一)以前工具不發達，強調計算能力(早期一個計算機比現在貴上十倍)，學生必需手動學習開根號耗時又費力，計算機發明普及後瞬間可解，學習的目標轉移至器械操作能力。
　　(二)時代變遷，精算不如概算重要，例如到大賣場購物，收銀機條碼常有被惡 作劇更換貼至其它商品的可能，這時候洞察環境，概算的生活能力就相形重要了，此時數學，學習重點轉移至生活。
　　(三)使用工具需具數感能力，因為機械好用但有當機或用電耗損的危機而出錯。
◎因此，學生的質樸想法(街頭數學－靠經驗解題)與正規格式之間往往造成學習者的掙扎，所以如何激發學生的先前經驗引發學習是非常重要的。例如：
　　(一)校外教學參觀或父母帶孩子參觀動物園一次、兩次、三次，每次回來問孩子你們看到什麼？每次看到的答案都是大象、獅子、長頸鹿、河馬、犀牛---等。因此教師需要設計學習單，如動物園中那些動物有角？獨角、雙角的長成什麼樣子？有什麼不一樣？注意！動物的腳，蹄長得什麼樣子？外型、皮毛、顏色數量等，引導觀察 注意。
　　(二)街頭數學的例子：從巴西北歐原住民小朋友數學能力差的研究報告看，小朋友在街頭做生意，找錢快速沒問題。例如：一顆椰子賣１５０元，觀光客給５００元時，他們會馬上找５０元，當問他為何會時，小朋友回答因為５００元買二顆找２００元，買三顆時便扣１５０元找５０元 (因為錢有文化經驗之意願即質樸想法) 。第二天老師出了題，數學題目：一顆椰子１５０元，買３顆椰子，付５００元，請問要找多少錢？小朋友卻不會了。一直在１５０元?３=？或５００元－４５０元=？中掙扎，直式退位也不會。當老師回歸到用買賣與小朋友玩時，小朋友卻想起來了。
　　(三)現實寫真－生活經驗和學校學習的對照，孩子只會用程式去解題，而沒有數學的思維。例如：口袋有７５元上文具店買文卷夾４９元要找多少錢？古解法７５－４９=( )涉及進位退位時學生就不容易對了，又如２０２－９９=( )；如孩子有數學思維，則可想拿成５０元去買４９元的文卷夾，找１元再加２５元等於２６元；又如有２０２元要買９９元的東西，可想成拿１００元去買９９元東西找１元加１０２元等於１０３元，這樣就不容易錯了。

◎近代心理學的主要發現
　一、學習者非被動的吸收知識，而是主動地運用既有知識經驗創造新的知識。
　二、新知識的理解與吸收需要與先前知識整合。
　三、學習經歷由「質樸想法」到「經典知識」的歷程。(例如：一年級的孩子，您問他100＋100＝？他立即回答200，再問他1000＋1000 ＝？他也立即回答2000，再問他一萬加一萬＝？他再立即回答二萬，依此類推到一億＋一億 ＝？答二億，從上例的回答看似勵害，但再問他2000＋400 ＝？時也許他就不會了，但幾天以後他會了，此即質樸想法到經典知識的歷程。
　四、成人適當的鷹架是發展兒童高層次心理能力的必要方式早期強調認知的學習，現代強調後設認知(自我調整的學習)，讓學生對自己的學習負起愈來愈多的責任。例如，在相互教學中，教師藉由發問有關「學生已閱讀過的教材內的問題」來引導小組學生，逐漸將引導討論的責任轉遺到學生身上。明確的教導學生在解決問題的過程中使用自己思維語言來與自己交談，協助學生發現的鷹架作用。
　五、學習者對於自身學習狀況的監控與方法的調整也是影響學習的重要因素。
◎數學學習心理的二、三事
　一、如兒童正整數概念的發展，從圖像啟蒙的事例。
　二、兒童分數概念與計算問題。例：從1/5+2/5=3/10談起，小朋友的想法(如下圖)表示　停留在圖像表徵性的了解，因此要讓小朋友概念到一個1/5加二個1/5等於3/5。
　　◎○○○○1/5　
　　 　 > = 3/10 (圖像表徵性的了解)
　　◎◎○○○2/5　　　　　　　　　　　
　三、兒童解題方法的情境特定性。例：一斤橘子18元，買9斤要多少錢？
　　　想法：18×9=？，10斤=180元减一斤18元；11斤時如何解？可否10斤加一斤？；
　　　15斤時如何解？15×18=？或10斤加10斤的對折5斤等於180元加90元。19斤時如何解？20斤減1斤。
◎學生數學概念發展的軌跡
　一、從質樸想法?經典知識。
　二、從非正式的解法?形式的規約。
　三、從整體?分化。
　四、從特定性?一般性。
　五、個例的掌握?關係的建立?關係的關係的形成等腰三角形。
　六、解題思考具情境特定性。
　七、不同數學概念的發展呈現不等速性。
　八、不同數學概念的發展呈現不同步性。
◎教學的理念與作法
　一、在教學活動方面
　　(一)以學生參與、互動為主要活動形式。
　　(二)應考量由學童質樸想法逐步成長的時間需求。
　　(三)應注意成人或學科的意義與兒童意義之間的可能差異，並加以因應。
　　(四)應重新思考觀察與操作活動在學習中的定位。
　　(五)概念理解並無法單憑具體物的演示操作而獲得。
　　(六)具體物的演示操作，並不能確保成功的概念建構，沒有相關知識作基礎， 

學生就不知道要觀察些什麼？也不知道要到那裏觀察？何時觀察？
　二、提供學童主動探索與創新的機會，不要急著將最有效率的方法給學生。
　三、運用「限定」來激發學生反思與提昇概念的理解。
　四、適當引導猜測，鼓勵嘗試錯誤
　　(一)學童在面對缺乏相關先備知識經驗問題時，猜測、嘗試錯誤的方法是十分自然且常見的解題方式，而猜測與嘗試錯誤亦有形成朦朧的概念。
　　(二)學童的相關知識不足，教師可在教學活動歷程中，鼓勵學童嘗試錯誤，待累積部份經驗之後，再透過反省活動。
　五、重新思考「錯誤」在學習中的意義：在成人眼裏「不正確」的方法，對兒童卻另有一番意義；在學習歷程中，不正卻的反應也有積極的意義。
　六、跳脫追求單一標準答案或解題過程的模式，尊重學童不同的想法與歷程。
　七、教學指導的重點，不在於知識的傳授或告知，而在於引導學童思考、反省、推理與覺察關係。
◎總之，學童沒有先前經驗，把它放到有意義的情境中有助其學習，且不致僵化，因此教師應回頭，思考學生在生活中怎麼學？老師該怎麼教？