6÷2(1+2)這個式子最近成了熱門話題，連我這個數學不好的人也著了迷，參考過論壇很多人的看法，對這個問題有了近一步的認識與思考。論壇上很多人為了這個問題爭的臉紅脖子粗，甚至互指彼此不懂數學，要對方重修數學云云。我可理解這種反應，但其實是不必要的。大家先想想自己的缺失，若是要擊倒自己的論點，該怎麼破。由這個方向去想或許會得到意想不到的結論。我不敢說自己解開了這個問題，畢竟我真的不是專家，只能說提供一些思考方向而已。

事實上，看到這個式子，我最初的想法是：這是個不合法式子，無法接受。我們這種程式員的想法很死板，式子不對就無法編譯成功，更不要說有結果了。據說這是國小算術題，那麼依四則運算的法則，沒有說 2(1+2) 可以視為 2 * (1+2)，所以這算是題目出錯：送分。

但是如果不把範圍縮得那麼小，這題目卻是合法的。因為我們人類很懶，應該寫 X * Y 的，後來變成 X ‧ Y ，再後來變成 XY ，這就變成了我們爭議的根源了。

另外一個爭議的根源是除法。自國小以後，我們就沒有再接觸過 ÷ 的符號了。而用一橫線來表示除法，而大家可能沒想過，這一橫線不僅有除法的意義，事實上它也給了我們空間上的意義。上面是分子，下面是分母，這種分隔方式已在我們腦海裡形成一個強烈的識別模式。

所以你看到 6/2X ，你會如何去解釋它？大概大部份的人會把它解釋成 6 / (2X) ，而不是 6 / 2 * X 。

那你看到 6÷2X 呢？大部份的人可能還是會把它解釋成 6 / (2X) ，而不是 6 / 2 * X 。

那我們要如何表示 6 / 2 * X 呢？一些人會告訴你規定一定要寫成 6 / 2 * X 。但事實上，你翻開數學書，大概也找不到這個規定。因為我們用可以表示空間的橫線可以說明我們想要表達的意思。 6 / 2 * X 在數學書（這裡說的不是小學課本而已，小學的6÷2*X出了小學範圍，你可能也很少看到）裡你看到了是這樣：

6
─X
2

我們可以看到乘法依然是省略的，但是它的空間配置絕不會讓你有所誤解。就算我把這個式子儘量弄在一行，但寫法及印刷方式一定會讓你看出來他們的關係。但在電腦裡就不一樣了，即便我 6/2 與 X 隔開來，變成 6/2 X，你可能還是意會不出這是 6 / 2 * X ，而沒有一本數學書規定你在這種失去空間意義的環境裡，式子要怎麼表示才是正確的，因為他們沒考慮到你要在電腦裡打這個式子。更糟的是 / 這個符號會匹配到我們腦中既定的空間區隔性，所以你常常會把它當成那一道橫線。所以甚至有些人會把 ÷ 和 / 視為不同（看到這種講法，我在心裡的ＯＳ是：大哥～你怎麼不看看你鍵盤上的計算機數字鍵區之後再說話呢？），把 6÷2*3 視為正常的四則運算，另外把 6/2*3 看成：

 6
──
2*3

寫到這裡你大概知道問題在那裡了吧！

另外，這裡要說一個比較玄的觀念，可能有一些人無法接受：很多人以為「左而右算，先乘除，後加減」是數學定理，其實不是。你要「左而右算，先加減，後乘除」也可以，但是你式子表示的意思會跟你現在所學的不一樣。比如：ax+by，會變成先做 x+b ，然後再做 a * (x+b) * y 。為何說它們不是數學定理，因為它們不影響結果，在「先加減，後乘除」的世界裡，你要把 ax+by 表示成原來的「先乘除，後加減」的意思，只要寫成 (ax)+(by) 即可。在「先加減，後乘除」的世界裡數學原理一樣能運作，只是你看到的表達式會不一樣。

這種式子裡隱含的運算程序性，對我們程式設計師而言熟悉的很，我們常常在處理這種程序性的問題。用一般術語來說，這是運算子的優先順序問題。在Ｃ語言裡， ++ 運算優先順序比 + 的優先次序高， + 又比 = 的次序高，所以在下列的式子裡，會先執行 b++，再執行 a + b，再執行 = (指派)。

 a = a + b++ ;

若是規定 + 運算優先順序比 ++ 的優先次序高，執行結果會不一樣。若我們把後面所說的這種優先順序定好了，所有的程式都按照同樣的法則運算，不會因為你 b++ 靠的近點就先執行，而一定還是會先執行 a + b 。

這樣子我們在解讀程式才會有一致性（不論是電腦編譯器或人肉解譯器），不會有太多的奇奇怪怪的例外要另外處理。

在人類世界，數學表示式雖沒ISO標準，但約定俗成「左而右算，先乘除，後加減」規則，也是一體適用的。不管你是純數或代數，沒有例外。為什麼有人有 6÷2X 那種 2X 要視為同一項先計算的錯覺。是因為我們在數學課裡，從沒有看過這種項式表示法。

要不是這樣的：

6
─X
2

要不就是：

6
──
2X

清清楚楚的，項式分明。

在乘法與加法中，因為它們符合交換律及結合律，所以運算程序性影響程度較小（這裡只是說在同是乘法或加法的情況下，如：2+2+2或2*2*2）。但除法與減法不一樣，必須特別強調其結合的順序，也就是我們說的「左而右算」。若是加減乘除混在一起，更是不能亂來。

例如：

6 - 2 - 3 = (6-2) - 3 = 4 - 3 = 1

你如果算成下面這樣就糗大了。

6 - 2 - 3 = 6 - (2-3) = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7

除法也是一樣，但是配合上我們上面講的橫線匹配的問題會有比較有趣的現象，若你看到以下的式子，不去想「左而右算」，第一直覺是什麼：

(3+3)/(1+1)(1+2)

因為有這樣的結合順序性關係，你反推回來若破壞了原來運算結合順序性的話，將會使內容改變，如下式可以這樣推嗎？

36÷12 => 36÷3*4

我曾看到論壇上有人想用類似的式子來證明 6÷2(1+2) = 1 是對的，因為上個式子不能這樣推，應該是這樣才合理：

36÷12 => 36÷(3*4)

所以 6÷2(1+2) 應該先算 2(1+2) 才合理。

其實他的邏輯有點奇怪，好像有一點白馬非馬之類的詭論，但是我邏輯不好，不太能夠用學術的說法去指出其邏輯層面的錯誤。但是我知道一點，他算法不成立是基於「左而右算」的理由上，若他堅持所謂的項式先算的理論才正確，那麼 36÷12 = 36÷3*4 是可以成立的。

因為在所謂的項式先算理論裡：

36÷3*4 = 36÷3(4) = 36÷12

套用的更明白一點：

36÷3X = 36÷12

其中 X = 4

但問題是 36÷3*4 可以這樣算嗎？這麼一道式子，可以套用「左而右算」又可以套用 「項式先算」嗎？那我們的數學系統會徹底混亂。用在某些時候要套用某種規則，在某些時候又要套用某種規則來說明數學，只會把事情複雜化而已。若是要把這種定義不清的語義實作到編譯器或解譯器裡，其語義樹會很複雜，甚至是難以實現。

我們平常數學課本及習作不用這種表示法，平時不會造成太大的困擾，但不巧的是我們現在是資訊時代，在電腦行式的輸入會使用到這樣的式子，這種語法模糊的嚴重性就會特別地突顯出來：

所以在維基的Order of operations詞條裡有一段話是這樣說的：

Similarly, care must be exercised when using the slash ('/') symbol. The string of characters "1/2x" is interpreted by the above conventions as (1/2)x. The contrary interpretation should be written explicitly as 1/(2x).

事實上這樣的設計是有道理的，這是為了維持解讀數學式子的一致性（不論是電腦編譯器或人肉解譯器）。但是這樣畢竟會引起一些混淆，所以他接著這樣說：

Again, the use of brackets will clarify the meaning and should be used if there is any chance of misinterpretation.

即使在Ｃ語言如此嚴謹的程式語言裡，我們也常被要求要加括號以避免誤解。至於我，即便是以下的式子也會特別加括號。

y = (2 * a) + 1 ;

因為我知道人類視覺的直覺性，遠快於理智的反應。

在論壇的討論裡，我說：最好贊成且堅持6÷2(1+2)答案為１的人，最好不是寫我們核電廠的控制程式的人，因為像 mathlab 等軟體都是９派的人。當然，這裡是開玩笑的，核電廠的程式都會驗證再驗證，就算他有什麼堅持，也不可能去硬拗執行出來的錯誤結果為對。但我為了這個問題曾搜尋到某個英文物理論壇裡，發現類似的問題也各有堅持，投票結果是一半一半。想一想這群物理的喜好者，有些可能是飛機控制程式的設計人員，有些可能是研究太空隕石軌道的專家等等，因為觀念的差異，再加上驗證的不足，還是有可能會造成一些嚴重的後果，誰知道呢？

這篇文章最重要的重點不在於答案是１還是９，而是呼籲數學界該站出來了解決問題了，該是時候把規則定個國際標準了吧！

最後給大家幾個式子看看，並想想為什麼：

１、 Z/n(X+Y)

你會把它解讀成什麼？

是

  Z
─────
n(X+Y)

還是

Z ÷ n * (X + Y)

為什麼？

２、 Z/2X

你會把它解讀成什麼？

是

 Z
──
2X

還是

Z ÷ 2 * X

為什麼？

３、　(1+1+1+1+1+1)/(1+1)(1+(1+1)) 答案是多少？

tag: +6÷2(1＋2)

tag: +6÷2（1＋2）

tag: 6÷2(1＋2)=?

tag: ６／２（１＋２）

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