小七: 一個qbit能表達多少種訊息?

大嘴: 20世紀後半葉, 史學家稱為數位資訊的時代, 是一個1或0的時代. 那時代的資訊結構比較簡單, 不是1就是0, 是1就不會是0; 黑白分明, 不是黑就是白, 是黑就不會是白; 正負分明, 不是正就是負, 是正就不會是負; True or False分明, 不是True就是False, 是True就不會是False. 如果一個分不清True or False的狀態, 是需要偵錯或拋棄的. 數位資訊理論這麼告訴我們, 一個bit能表達1或0兩種訊息. 這就是數位時代的資訊結構.

21世紀的資訊, 進入所謂量子時代, 是一個1和0疊加並存的時代, 既是1也是0. 這是一個同時存在的時代, 疊加糾纏的時代. 1和0同時存在, 只是分配比例的多寡. 不是黑白分明, 而是灰階存在, 連續的灰階. True And False同時並存, 65% True, 35%False. 這種資訊可以在一個qubit中呈現, 比數位電腦一個byte的灰階資訊量還多.

小七: 還多, 那是多多少?

大嘴: 這要看疊加的連續灰階, 精度多大而定. 比方說前面的例子: 65% True, 是65%? 還是65.0001%? 還是65.000000000005%?

小七: 喔, 這樣子我懂了, 要看實際系統提供的測量精度來決定. 那有沒有理論上的極限? 還是說, 這連續灰階是實數系連續, 沒有極限.

大嘴: 有極限. 不過我先要解釋, 這個連續灰階不是實數系0到1(100%)連續, 而是複數系. 一個qubit的量子態是二維複數向量 |ψ>=α|0> +β|1>, α,β是複數. 所以它們構成的是一個二維的複數連續, 而不只一維的實數連續.

小七: 哇, 無限大的平方.

大嘴: 我們現在來看看「有極限」是怎麼回事. 這需要使用離散空間的假設.

大嘴: 先回到二維複數向量, |ψ>=α|0> +β|1>=[α,β] ^{T ,}α,β是複數. 不過因為|α|²+|β|²=1,所以|ψ>是二維複數向量空間的單位向量. 它的端點不是佈滿整個二維複數空間, 而是在這二維複數空間的單位(超)圓上. 二維複數構成的是四維空間, 這個單位(超)圓是四維超球體的球面. 我們換另一種幾何思考, |ψ>=α|0> +β|1> ,  |α|²+|β|²=1 , 可以改寫為|ψ>=e^iγ{cos(θ/2)|0>+e^iφsin(θ/2)|1>}, γ,θ,φ∊R . 其中e^iγ是機率幅的相位, 因為沒有可觀察效應(no observable effects), 所以在量子力學中通常把它省略而寫成|ψ>=cos(θ/2)|0>+e^iφsin(θ/2)|1> θ,φ∊R. 在幾何上θ,φ構成一個三維單位球體的球面(Bloch sphere), 這個單位球面上的點就是一個qbit能表達的資訊量, 單位球面積等於4π.

小七: 這個極限和球面面積有什麼關係? 難道說極限等於4π?

大嘴: 不是. 如果空間是連續的, 那麼這個單位球面上的點是無限多, |ψ>也就無限多, 一個qbit能表達的資訊量也就無限多.

小七: 如果空間是離散的, 那會怎樣?

大嘴: 如果空間是離散的, 單位球面上的點就是有限. 離散空間假設說: 最小長度是普郎克長度1.616*10^-33cm, 最小面積是普郎克長度平方2.61*10^-66cm². 4π的單位球面上, 有4π/2.61*10^-66多點(=4.81*10⁶⁶). 這就是一個qbit能表達的資訊量上限.

小七: 這是不是可以用來解釋貝肯斯坦上限(Bekenstein Bound)的原因?

大嘴: 正是如此.

爆炸頭: 不對, 資訊量上限的推論過程有瑕疵.

小七: 怎麼不對?

爆炸頭: 推論過程中, |ψ>=e^iγ{cos(θ/2)|0>+e^iφsin(θ/2)|1>}, γ,θ,φ∊R 省略機率幅的相位e^iγ是因為沒有可觀察效應, 但在此處求的是資訊量的值, 不能省略. 原本的α,β(α=α₁+iα₂, β=β₁+iβ₂) 就有四個向度(四維空間), 轉換成(γ,θ,φ,r)仍舊四個向度. 一個關係式|α|²+|β|²=1, 減少一個向度r, 留下三維. 不能任意省略γ. 所以(γ,θ,φ) 構成一個四維單位超球體的球面(super-Bloch sphere), 球面積等於2π² (2π²r³). 所以一個qbit能表達的資訊量上限是: 2π²/4.22*10^-99多點(=4.68*10⁹⁹).

小七: 這樣一來, 貝肯斯坦上限就不對了?

硬板凳: 老師, qbit能表達的資訊上限, 還有一個限制條件：α||β(α平行β). 所以(γ,θ,φ)再減少一個向度, 用θ,φ構成的球面Bloch sphere表示是正確的.