A1A2A3...An為圓O的內接n邊形

現在考慮從Ak發出的所有對角線, 可以將此n邊形分成n-2個小三角形, 令此n-2個三角形的所有內切圓半徑的和為Sk

證明: Sk為定值, 也就是說, S1 = S2 = S3 = ...... = Sn

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這題證明很難@@,不過還可以理解,只不過太多了我應該不會po上來,但是我過幾天會在附上證明的大概流程, 大家可以先"欣賞"這題的定理 ^^

PS: 這題是我在學測前兩週看到的題目喔@@

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證明簡略流程: (如果各位有其他證法,希望可以一起分享喔^^)

1.先理解: n=3明顯成立, 且只要n=4成立, 那麼對於任意n>4皆可成立

2.要證明n=4成立,首先先證:三角形A1A2A3,三角形A2A3A4,三角形A1A2A4,三角形A1A3A4四個三角形的內心所形成的四邊形為長方形(這個也很漂亮,不會很難證明,只要注意角度就可以,不過圖要畫漂亮一點才比較容易觀察)

3.利用連心線公式: d^2 = R^2 - 2Rr ,即可得證n=4時成立

PS: 連心線公式: 任意三角形外心圓半徑R,內心圓半徑r,兩圓圓心連線長d,則d^2 = R^2 - 2Rr ,證明網路上應該有, 這也是很漂亮的定理,不會很難證,不過輔助線很重要!

不要以為看起來挺簡單的,就算給了簡略流程, 實際要證起來還是不太容易呢!