我想到一個切入點了,考慮一項事實:1~n之連續正整數內必可找到一個最大質數與1~n中除了該質數外的數皆互質,如:1~2就選2,1~3就選3,1~10就選7,1~100就選97,...,以此類推.

現在處理該題:1+1/2+1/3+...+1/n其分母為1~n,可選擇一最大質數p使1~n內除了p外所有數皆與p互質,因此考慮除了1/p外的所有分數和,可直接通分化簡後得出一最簡分數b/a:

1)若b/a為一整數k,則1+1/2+1/3+...+1/n=1/p+k必不為整數,原題得証.

2)若b/a非整數,則1+1/2+1/3+...+1/n=b/a+1/p=(bp+a)/ap,觀察分子bp+a,因為(a,b)=1,且a,p必互質(可將不含1/p之其他分數直接通分化簡,公分母必無p此因數),故bp+a必非a之倍數,而bp+a亦非p之倍數(因a,p互質),所以(bp+a)/ap不可能為整數(因分子無法被分母整除),原題得証.

這個証法應該沒錯了,這位何先生的問題我覺得並不會不起眼的,因為任何數學問題都有值得思考的地方,何先生可以多發表一下您的看法,多交流才有進步@@

呃,下面那個證明我寫錯囉(不過那不等式是對的),看來此題我要重新用別的方法切入了!!

其實有正整數k可介於ln(n+1)與1+lnn之間的,如n=3,得出ln4=1. ...,1+ln3=2. ....,k=2即成立了...真是殘念....不過我再用別的方法試試!!

對了,補充一下,不可能有正整數k介於ln(n+1)與1+lnn之間:

證明:假設有k為正整數使得ln(n+1)<k<1+lnn,則ln(n+1)<ln(e^k)<ln(e*n),故得n+1<e^k<e*n,考慮三個函數y=x+1,y=e^x,y=e*x,將三者描於平面上可看出y=x+1,y=e*x分別為y=e^x在x=0,x=1之切線,由圖形可看出n+1<e^k<e*n為矛盾,得証.

這就完成了那題之證明.

呃呃,這位提出的問題我有個解法,可以供您參考:

利用積分方法不難証出ln(n+1)<1+1/2+1/3+...+1/n<1+lnn(只需利用對y=1/x作積分,利用上和與下和即可証出),由於ln(n+1)~1+lnn的差距不到1,且恆不為整數,故所求恆不為整數,得証.

(佑都應該知道此不等式,與歐拉常數gamma有關喔)

小弟看了此網站深感佩服 希望能加入研究行列

我想請教各位一題看似不起眼的題目

S=1+1/2+1/3+...+1/n 如何證明S為分數