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階差數列的神解.....
2008/11/29 18:56:31瀏覽4913｜回應9｜推薦3

這個是很久以前在書上看到的...對於求階差數列很快...

舉下列兩題讓各位試試看....(方法我再找時間po吧!)

Q1:

求數列<1,2,4,8,16,31,57,99......>的第n項  及  從第一項到第n項的和 (n為正整數)

Q2:

求1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + ...... + n^5 =? (n為正整數)
( 知識學習｜科學百科 )
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引用
引用網址：https://classic-blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=ivan5chess&aid=2428293

　回應文章

蟲蟲
2019/07/12 00:17
好容易(xxxx@yahoo.com.tw)

╰☆墮落天使★╯
等級：3
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2013/12/02 20:25

段考的時候我有試著自己推sigma_{k=1 to n}k^5

不過這方法要一層一層疊上去(要先知道４次方的)

計算過程有點麻煩XD...

就是２樓的方法0.0
都都(ivan5chess) 於 2013-12-15 22:36 回覆：

對阿要一層一層疊上去很麻煩!

後來高中畢業跟陳老師學微積分才發現有位大的數學家發現通解的哈哈

123
數列
2013/04/07 00:46

SUM i^5 = 1/12*n^2*(2*n^2+2*n-1)*(n+1)^2

123
階差數列
2013/04/04 01:40
求數列<1,2,4,8,16,31,57,99......>的第n項

第n項為(n^4-6n^3+23n^2-18^n+24)/24

拉嚕嚕
11
2012/12/29 21:45

1.

if n>= 5

 C(n,1) + C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)+C(n,5)

 

 

陳
陳
2009/07/27 13:17

咦?怎麼有這個第2題?我竟然沒看到%$#@

這第2題是相當有名的題目,當年數學家雅各伯努利已導出通解型態囉,即1^m+2^m+3^m+...+n^m之公式解,有點長耶.....(不過我快講到了喔)
都都(ivan5chess) 於 2009-07-27 22:00 回覆：

ㄆㄆ

那我還是等好了XD

時和
等級：8
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第一題
2008/12/01 01:24
要差分三次。等都都的解答快一些。
都都(ivan5chess) 於 2008-12-01 19:02 回覆：

@@時和先生知道差分的話,應該可以知道這個神解喔!

第一題的答案是: 第n項為

C(n-1,0) + C(n-1,1) + C(n-1,2) + C(n-1,3) + C(n-1,4)

到第n項的和用巴斯卡公式得

C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) + C(n,4) + C(n,5)

時和
等級：8
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第二小題比較簡單
2008/12/01 01:18
>> 求1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + ...... + n^5 =? (n為正整數)

Let a1 = 1^6, a2 = 2^6, a3 = 3^6, ..., an = n^6.

a1 - a0 = 1^6
a2 - a1 = 2^6 - 1^6
a3 - a2 = 3^6 - 2^6
:::::
an - a(n-1) = n^6 - (n-1)^6 = 6n^5 - 15n^4 + 20n^3 - 15n^2 + 6n - 1

Thus, SUM(1^5 + 2^5 + ... n^5) = 1/6{n^6 + 15*SUM(i^4) - 20*SUM(i^3) + 15*SUM(i^2) - 6*SUM(i) + n}

時和
等級：8
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給個
2008/11/30 01:02
hint 吧！兩題都不容易。
都都(ivan5chess) 於 2008-11-30 15:58 回覆：

嗯...

這題我不能提示喔@@,因為這題的解法的證明我已經忘了(很長,我記得我以前看了幾個小時,大約三或四頁吧,因為它的步驟跳的很快,所以雖然只有三頁,所以讀了很久才懂,裡面也用了不少引理)

不過我po這題的原因只是純粹把這個方法介紹給大家(證明省略@@), 因為這個方法...

真的很神

如果真要提示的話...我想一下...跟 組合C 有關