未解: 高一數論題(經竄改XD) - 都都的網誌

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未解: 高一數論題(經竄改XD)

2008/07/10 17:44:30瀏覽634｜回應5｜推薦4

在高中參考書一定可以找到類似這種題目....

Q: x為正整數, 且根號(x^2 + 6x + 25) = 正整數 , 求x =?

這是一題基本題, 平方差後, 解聯立即得解....

不過我發現一個小問題...............

如果根號裡面的x^2之係數不是完全平方數, 那麼題目會變成難題(?)

例如:

Q: x為正整數, 且根號(5x^2 + 2x + 1) = 正整數 , 求x =?

這題就不能用平方差得解了, 我也試過了利用畢氏三元數去解, 也解不太出來的樣子 , 所以目前我是無能為力啦XD...(我們老師也解不出來)

不過這種題目是有解的喔, 簡單代一下就可以知道x = 2,是符合題意的.

但是如何確定只有這組解呢? 或者有無限多組解 ? 有限多組解 ?

歡迎各位試試看唄^^,有成果記得要跟我分享,呵呵

( 知識學習｜科學百科 )

引用網址：https://classic-blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=ivan5chess&aid=2028922


	回應文章


	陳

陳

2009/08/05 14:12

此題終於解決,的確具有無限多正整數x使得x^2=5n^2+4,這是我十多年前讀過的東西,不過我竟然忘了(人老了記憶力會衰退是真的),上述方程移項得x^2-5n^2=4求正整數解的問題,此為著名的數論題目,名為"佩爾方程",其解的特性已經由大數學家歐拉徹底解決,而且已求得簡化求解之公式,甚至連通式都解決了.可先令x=2t,n=2s代回得t^2-5s^2=1,此即為標準佩爾方程,根據歐拉的推導可得知無限多組解,不過有點長,你可先於網站上搜尋一下相關資料參考.

都都(ivan5chess) 於 2009-08-05 20:14 回覆：

佩爾方程....聽過!@@

之前高一有買過數論的書...不過後來發現看得太吃力- -a索性放著沒看了...XD...那本書好像有介紹吧

怎麼又是歐拉解決的= =...

總之還是謝謝彬哥啦...至少這題已經不是未解決了....(不過對我來說確實是未解決XD)


	陳

高一數論題

2009/02/18 15:54

我計算出除了x=2之外,尚有x=15,104,714,4895等等之解,我猜測應有無限多組解,以下是我的一點小成果,不過此題還未完全解出,有待努力中:令5x^2+2x+1=p^2,可得(x+1)^2+(2x)^2=p^2,此式極像商高定理,且確定x+1為最小邊,故我從商高數下手:可令其中一種情形為m^2-n^2=x+1,2mn=2x,此聯立方程式中將x取代掉可得m^2-n^2=mn+1,分解得(2m-n)^2=5n^2+4,此式當然須m>n,且仔細觀察其等式若右式為完全平方數(n需正整數),則m,n必有正整數解(可由n為奇數,偶數說明),接著僅需找n使得5n^2+4為完全平方數即可,我開始嘗試,得出n=1,3,8,21,55皆為完全平方數,代回時可求出對應的m值,再利用x=mn求出我一開始列出之x=15,104,714,4895(n=1則對應求出x=2),至此,我將此題轉換成"有無限多個完全平方數具有5n^2+4型態."若此猜測成立,則保證此題無限多組解(p.s.:最後一個n=55是由計算機幫我完成的,數字太大已經做到快暴斃了!)

都都(ivan5chess) 於 2009-02-18 20:05 回覆：

@@真是辛苦你了!

其實畢氏三元數的方法我也有嘗試,但是後來好像都會回到類似的窘境

我將此題轉換成"有無限多個完全平方數具有5n^2+4型態."

但是這個問題其實就是這種題型無法用一般高一解法去做的原因

所以到最後雖然將式子簡化了,但是核心還是不變的(其實之前這題我解好久...用過很多方法,到最後好像都會回到那裏.....主要原因是那個"5")

我猜這種題目應該已經不是高中所教的數論可以處理的@@,可能會用到大學的一些定理吧! 我有看過一些課外介紹數論的書, 不過.....好難= =所以最後放棄了XD....

斌哥如果你有興趣的話可以再試試看!


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在第一題中要求 x為正整數

2008/07/17 11:31

答案是無解？

都都(ivan5chess) 於 2008-07-17 17:45 回覆：

呵呵^^|||

那題是我隨便舉例的啦, 其實我並沒有去注意題目的數據和x的限制, 因為我主要只是要比較兩題的差異, 所以不用太在意那題是否有解的^^


	阿宇

不懂

2008/07/11 23:14

第一題：(x + 3)^2 + 4^2 是平方數

然後怎麼解？

第二題：5 ((x + 1/5)^2 + 4/25) 是平方數

==> (x + 1/5)^2 + 4/25 = 5 k^2

為什麼不是1/5 k^2

都都(ivan5chess) 於 2008-07-14 17:36 回覆：

第一題:

令(x + 3)^2 + 4^2 = t^2

移項16 = t^2 - (x+3)^2 = (t+x+3)(t-x-3)

在將16分解 = 1*16 = 2*8 = 4*4

看看哪組解聯立後,x,t都會是正整數

-----------------------------------

第二題:

因為 5 ((x + 1/5)^2 + 4/25) 是一個正整數且是五的倍數且為平方數,不妨令為25k^2

所以 25 ((x + 1/5)^2 + 4/25) = 125k^2


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125k^2 - 4 是平方數

2008/07/11 11:52

第一題：(x + 3)^2 + 4^2 是平方數

第二題：5 ((x + 1/5)^2 + 4/25) 是平方數

==> (x + 1/5)^2 + 4/25 = 5 k^2

==> 125 k^2 - 4 = 25 (x + 1/5)^2 是平方數

目前只知道當 k = 1 時，x = 2 是一組解。

都都(ivan5chess) 於 2008-07-11 17:37 回覆：

嗯嗯沒錯

該不會會用到 ax^2 - by^2 = 常數的解法吧~"~|||

那個我不太會XD...