自智數學

來寧德教書、遊山玩水之外，我也想繼續做些科普採訪或聽科學演講，可以如願嗎？

如果我能夠申請到科普平臺的計畫，或許有機會自己來主辦，但可惜沒申請上。不過最近好像慢慢有轉機了喔！

這裡要介紹的是在學校裡聽的小學數學教育演講，這是由寧德師範學院附屬小學的楊良春副校長給的精彩內容。他是福建省的特級教師，也是名師工作室的領銜名師，已有37年的教學經驗。即使擔任副校長他還是堅守教學崗位，從來都沒離開過第一線。這次演講題目是「自智數學—建構學習新生態」。

所謂「自智數學」，教導數學的內容、培養學生數學能力固然是重點，但更重要的是讓他在未來生活、工作當中能活用這些知識，達到育人的目標。但是從數學談到「育人」，是不是太高調了呢？如何達成呢？

楊良春的重點不在於把數學符號、標準做法迅速教給學生，而是給予任務、給予情境，讓學生自己想辦法找出方法，體會數學的妙用。

首先來看很簡單的位數超過十萬以上的數字辨識。西方是三位數一個逗點，但這不符合中文的讀法，雖然現在有些留過洋的專家喜歡念「五十千」、「六百八十百萬」，但正常的中文念法應該還是要「五萬」、「六億八千萬」。

這在小學要怎麼教呢？

其實中文的數字規律很好，小學生基本都能掌握，但是因為位數太多，因此要略略區隔一下才能讓人快速辨識，不過又因為國際標準的記法是三位數一個逗點，因此要小心不要讓這些搞混，這裡的教法是在「萬位數」的右邊畫出輔助線。楊良春演講時寫出600000，然後畫出輔助線問聽眾：大家對那條線有沒有敬意？

大家愣了一下，都覺得那只是小學時學習的一個很簡單的過程，怎麼會有「敬意」可言呢？

他就告訴我們，上課時他設計活動讓學生分組比賽，男生一組、女生一組，男生念3000000，女生念70000000，看起來女生比較困難，但是因為有輔助線，女生眾口一致、輕輕鬆鬆念出「七千萬」，男生則略有遲疑又不一致，因此第一回合輸了。

馬上男生就有人大喊：不公平！

老師問：哪裡不公平？

男生說：女生的有輔助線，男生這裡沒有。

女生則說：很公平，我們的數字位數還更多呢！

雙方吵起來了，老師趕快跟男生們說：老師沒幫你們畫輔助線，你們就自己畫啊！

於是男生就忿忿不平地開始畫了，但此時可見楊良春給女生的範例是經過精心設計過的，剛好八位數，因此輔助線畫在中心。現在男生面對七位數，輔助線該畫在哪裡呢？大家又吵成一團，有人說要左四右三，有人要左三右四，甚至前者的聲音還要大一點，理由還要充足一點，因為現在橫寫都是由左往右寫。但很快地，數字念法的規律性可以讓學生自己摸索出正確答案出來，最後不管男生、女生都認同輔助線的重要，也知道如何正確地去畫分。

現在小學數學不只教人會計算出總和結果，還要學習把數字拆開，譬如一個5，可以寫成2+3，也可以寫成1+4，根據加法交換率還可以把數字順序前後換一下。這說起來簡單，但當去教小朋友的時候，大家學得糊哩糊塗，不明所以。數學就是要這樣把大家搞得頭昏腦脹嗎？

楊良春有次去代低年級的數學課，當天的主題是學這個。他刻意帶著五朵花進教室，以期降低小朋友看到資深男老師的距離感，大家果然都被鮮花吸引著，希望能拿到花。

楊良春問小朋友這裡有幾朵花？五朵！大家都可以看得出來。

他徵求小朋友來臺上拿花，左右手都要有，不能空著手，那可以怎麼拿？

有人自願跑過來，左手兩朵，右手三朵。這時請小朋友自己在紙上記錄，你會怎麼寫？大家很快就寫出一般學校老師所教的那種形式，然而因為這是小朋友自己所寫的，因此印象深刻，此時你把花拿開，小朋友也可以看著數字跟你講剛剛所發生的事情。

接下來還可以有幾種方式，也都這樣讓小朋友有實物操作，然後自己記錄，然後把實物隱去，看著數字來說剛剛發生的事情，大家玩得很高興。

到了高年級要學習未知數，我們習慣用x來表示，楊良春讓我們看看教科書的說明方式，似乎只是文句替換，不大能讓人看出x的價值與功用。那他怎麼教呢？

他設計一對數字，依序出現，分別代表老師抓的小棍數目與學生抓的小棍數目。當老師抓2根小棍，對應的學生抓的小棍數目是4，那請問當老師抓3根的時候，學生抓的是多少？

這有很多種可能，6、5、8、9……，他宣告他安排的關係應該是5，現場聽眾都點點頭，我們都能掌握到二者的關係，如果老師抓的是13，那對應學生抓的就是15。

楊良春說初教這個單元時，接下來他拿了一大綑小棍，拿去問學生如果給這個，那對應的是多少？沒想到學生的重點不在於二者的關係，而是要把那一大綑小棍都算個清清楚楚，他以太多為理由不想讓學生算都不行，學生會說一個人算不來兩個人算，兩個人算不來全班算……大家都相信絕對算得出來，沒有算不出來的道理。

但這離他的理想體認到「未知數」還有段距離，怎麼辦呢？回去問妻子、問正在寫功課的小孩，小孩告訴他就拍照吧！學生總不能把照片剖開來算！

第二天他去教室，拿著照片放在第一欄，問學生那所對應的數字應該是多少？學生都覺得老師很有心機，終於有人跑去臺上畫了一個符號代表照片，然後在後面寫上+2。那很好，可是照片中的小棍是多少呢？

有人隨口回應：鬼才知道！

是啊！鬼才知道的數字，我們在數學上就用x來表示。因此這對數字，前面是x，後面對應的就是x+2。這樣的過程，讓學生對於「未知數」有了深刻的體會。楊良春還會希望教到學生理解，如果反過來說先給學生抓的小棍數目N，學生能夠自行推裡出來老師所抓的小棍數就是N-2。

關於角度的學習，這對學生而言也是很大的困擾，我記得當年自己在讀書時就有許多同學老是學不會正確使用量角器。但從楊良春的角度看起來，覺得工具本身有很多陷阱，學生錯的有道理。

那該怎麼克服呢？

有的老師會整理出一些規範要求學生記誦遵守，但問題是那是針對開口往右上的情況，如果開口方向不同那又會天下大亂，反而會成為學生判斷的障礙，因此可能還是得找更自然的方式。

楊良春的教法會從銳角教起，看著度數增加，兩邊的夾角也增加，到了90度則是個臨界要介紹的標準，比90度小叫銳角，比90度大則是鈍角，然後試幾個不同型態的，讓學生培養直觀感受。此時學生因為對90度直角有清楚的認識，因此在角度判讀上就不容易出錯。

接下來他讓學生在練習紙上面畫一個開口朝左的角度，這是多少呢？

因為是在練習紙上，許多學生會去轉紙，轉到剛剛學習常見的角度去量，因此有不少人可以得出正確答案，還能夠教其他的人。

接下來他又在黑板上畫一個開口朝上的角度，問學生這角度是多少？

看起來不難，主要問題不在於開口朝上，而是在於角在黑板上，你能轉黑板嗎？或者人怎麼轉？學生才剛學習到一點東西，馬上又感受到一個新的障礙，此時他才介紹出量角器工具的使用價值，既然角度不能轉、人不能轉，就讓工具去轉吧！

楊良春提醒，這個學習過程不僅是學習測量角度，而且在學習做事方法，如何排除不可能，而用可行的方式去做事情，數學教育如何「育人」？就是在這樣的摸索過程中一步步排除不可能。

還有關於方位與距離的認識，楊良春也設計遊戲讓學生從直覺中引導出數感，自己歸納出符合數學表達的方式。

在演講過程中，他也不斷提醒聽眾各種心理學、教學法的相關理論，讓聽眾了解他設計的用意，也體認到教師在整個過程中的角色與任務，聽的學生都深受吸引。

我以前在臺灣接觸數學教育不多，我想臺灣的老師們應該有各式法寶來協助學生學習，但楊良春副校長的多年經驗應該也很有啟發性，因此我就借花獻佛，隨筆為大家做個介紹。