考學生，考老師

中秋節給學生的月相作業，有的人答的不錯，有的則答的很讓人失望。我們已經花了那麼多工夫了啊！我還鼓勵他們彼此去討論、回家問家人，結果還有人去查網路資料，不明白怎麼百度都查不到，那怎麼寫呢？直接用社群軟體問我。你說氣不氣人！

檢討時看這首詩「病起蕭蕭兩鬢華，臥看殘月上窗紗」，我告訴他們如果殘月是農曆月底的一鈎彎月的話，這詩舊是凌晨往東邊看的情況。有學生很認真地跟我辯論說，病人很累要多睡覺，絕對不可能凌晨起來。

這……，我告訴他，病人要多休息沒錯，但可能白天休息太多，反而在半夜起來，因此會不會凌晨起來這沒有確定性，不過月相描述得那麼清楚，這是很確定的。

還有「不敢出門看月，偏偏月進窗來，害我相思一夜」，要他們判斷月相，並且寫出原因。有人判斷是滿月這沒錯，但原因是說「滿月才容易引起相思」，這就未必了吧！我期待的是比較理性的判斷，而不要那麼感性。

這些討論蠻有意思，但也讓我開始檢討自己的教學內容，可能不要放太多內涵，而要多反覆討論、確認，這樣學生習得的才會紮實。Less is more.

檢討完下課後還有人問月相的基本解說圖，似乎他完全沒辦法掌握到如何理解日、地、月三者的關係，這可能需要借助一點教具來演示一番。下回我去採購時，特地買了一個球回來，然後把它的一半用黑膠布貼滿，拿進教室去，還沒上課就有學生很感興趣，我跟他們說，這是為他們而買的，猜猜看這要做什麼？

很多人猜到了這可以用來教月相，我請學生拿著在教室走一圈，然後問同學看到的是什麼形狀的月亮，地球、太陽、月亮的相對關係如何，希望這會有點幫助。球上的打氣孔我還特地沒貼起來，留給學生看說，真實的月亮面向我們那個方向也有一個打氣孔，很像它的肚臍，那是個隕石坑，叫做第谷坑，我們上課介紹過第谷喔！他是望遠鏡發明前最厲害的天文學家。

此外我還設計一些簡單問答、連連看，或者遊戲，在每堂課上到個段落時考考大家。我刻意用些競賽的方式，譬如說總共七題，兩班輪流做答，看哪邊答對幾題，全班在這堂課就可以加幾分。那就會有誘因，還一定會有輸贏，大家心會急切點。你不要認為先做答會有優勢，我設計的形式最先開始的人只能隨機嘗試，後答的人才容易看出點眉目，答對的機率比較高。學生以前上課注意力不知道在哪裡，但這遊戲玩了兩次後就有人發現大叫說：不公平，自己班每次都先答，反而給另一班觀察機會，可以先得分。

喔！那玩到一半換過來，換另一班先答，好嗎？

不不不，這些學生精得很！他們發現已經玩下去，那優勢就不在了，還是繼續輪下去，步步為營吧！

再來，要兩班輪流有人起來代表做答，怎麼選人呢？

我買了一副骰子，六粒。上課時我帶其中三顆過去，叫人的時候順手一扔，出來點數後隨我加減乘除或者運用到指數根號組合成一個數字，那就是輪到人的座號。

玩過幾次後，換我自己有點疑問：這樣叫到每個學生的號碼都是相同的機率嗎？或者更基本該問：每個學生的號碼都可以叫到嗎？

忽然之間，我有很強的慾望想要知道情況，於是有天就把數字從1列到52列出來，然後一一去想怎麼用三個1~6的數字去表示。從1到40一直都很順利，讓我很放心，但我的學生很多，一次往往九十幾個，那是兩班合上，有的班級座號到52，因此我得繼續嘗試，等到43出來的時候好像就沒辦法了！忽然之間46, 47, 51, 52，這幾個數字以我的程度而言通通都不行用三個骰子的數字組合出來。

那這樣那些學生會不會就安然坐著，懶散學習呢？有人可以幫我想想適當的數學組合嗎？

這就數學問題而言，我一時還是無解。但我決定下次上課的時候，宣告數字要從班上後面倒數回去算，這樣那些號碼的人應該就有機會輪到了吧！

也許有人覺得我還真奇怪，只要拿出四粒骰子來丟，問題就可以解決了啊！

不過這是個人習慣，我喜歡在有些限制下去做事情，給自己一點挑戰，慢慢想這問題，哪天想得出來一定很有意思，那就會讓人很高興，想不出來我想也沒損失，應該不會有人來扣我的分吧！

至於各號碼出現的機率怎麼算呢？我隱約覺得中間數字（二、三十）出現的較高，但到底該怎麼有系統地計算呢？這就完全超越我的數學程度了，因為除了丟骰子的機率外，還有我隨機連起來式子的想法。譬如以出現三個么而言，它可以是1x1x1，也可以是(1+1)^1或者1+1+1，從1到3都有可能，然而這很難說哪個機率高。如果有人對這問題有興趣，或許可以來教教我，怎麼公平的來叫人。但也許我該去問那些精明的學生，說不定他們比我還有感覺，能夠想出一些特別的方法。下表則是我換個角度，看丟出骰子後能夠計算出那些結果。真的是洋洋大觀！

不要光從上表就以為1很容易出現，機率應該最高，實務上我會偏向用加與乘，較少用減與除，因此1出現的機率並不高，除非多一點刻意。

後記

我又想了幾天，終於想到新的方式來表示那幾個數字了。

不知道學生學過階乘沒有？沒學過就我來教他們吧！