國小簡單謎題(解答)兼憶往事及略述等差級數(請點我) 

前文提到

等差級數公式： 上底加下底乘高除以二。上底就是第一個數字，下底就是最後一個數字，高就是總共有幾個數字。

時鐘上有12個數字，依大小依次是，1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,11,12。 所以就是(1+12)X12/2。換個方式想的話，就是有6組相加為13的兩個數字，分別是1跟12，2跟11，3跟10，4跟9，5跟8，6跟7。 6=3X2 所以我們可以把鐘面分成6個總和相等的部份，也可以分成3個相等的部份，以及2個相等的部份。

講到等差級數就會想到等比級數，什麼是等比級數呢？

1+2+4+8+16 這是一種等比級數，後面數字是前面數字乘以2。

那等比級數總和的公式，我想大家都忘了，那實在不是一個好背好記的公式。

Sn=a(1-r^n)/(1-r)=a(r^n-1)/(r-1)

Sn是指等比級數的總和

a是指第一個數字，即首項

r是指公比 

以1+2+4+8+16這個等比級數當例子來說，

Sn是指等比級數的總和=1+2+4+8+16

a是指第一個數字，即首項=1

r是指公比=2，因為這個等比級數可以改寫成

1+1x2^1+1X2^2+1X2^3+1X2^4 

每一個數字都是前面數字乘上2，所以2就是這個等比級數的公比。

講了這麼多，我只是想說這個公式既不好記又不好用，奉勸大家千萬別背，可是我們求學時是這樣教，現在好像也還是這樣教，甚至聽聞香港的學生也是這樣教，真的不知道這世界的數學教育出了什麼問題。

不背公式，那要怎麼辦？

我想背公式前，老師都會講解公式的由來，只是講完後，學生放一邊，老師也放一邊，開始用這個醜不拉嘰又難記又難用的公式。

公式怎麼來的很重要！而且公式的由來可以用在我們的計算上。

以下開始講解公式的由來。

當然一開始我們會有個等比級數的序列。

Sn=a+ar+ar^2+ar^3

我們就是要求出Sn等於多少，當然當序列不長時，直接加一加還比較快，可是通常題目會出現極長的序列甚至是無窮序列，是不可能一個一個加的。但為了說明方便，就舉這個例子。

Sn=a+ar+ar^2+ar^3________第一式

將第一式兩邊同時乘上r，得到

rSn=ar+ar^2+ar^3+ar^4______第二式

然後我們將第一式減去第二式，或是第二式減去第一式，兩種都可以，這也是公式會有兩種型態的原因。

進行減法時，我們會發現一些數字彼此相減抵銷了。

第二式減去第一式：

  rSn=ar+ar^2+ar^3+ar^4______第二式

-Sn=a+ar+ar^2+ar^3________第一式

_______________________________________

rSn-Sn=ar^4-a

(r-1)Sn=a(r^4-1)

將左邊的(r-1)移到右邊下面就得到公式

Sn=a(r^4-1)/(r-1)

我們舉個常見的數學習題來說明為什麼用公式由來的算法比直接用公式更好用更方便。

一顆球從10公尺的地方落下，碰到地面後會彈起先前高度的1/2，試問從落下到靜止為止，球行經了多少距離。

我就直接用公式由來的算法了，想用公式算的自己去算吧。

     Sn=10+2(10X1/2+10X1/2^2+10X1/2^3+10X1/2^4++++

1/2Sn=5+2(10X1/2^2+10X1/2^3+10X1/2^4++++

上式減下式

Sn-1/2Sn=10-5+2(10X1/2)+2(10X1/2^2-10X1/2^2+10X1/2^3-10X1/2^3+10X1/2^4-0X1/2^4+-+-+-

所以答案就是1/2Sn=10-5+2(10X1/2)=15

Sn=30

為什麼有些序列都要乘以2，這是因為球彈上來又掉下去所以會經過兩倍的距離，這也是這題不好用公式來計算的原因。由於是無窮序列，從某種觀點來看，最後一項會是無窮小，幾乎是零，所以可以忽略不記。

現在開始來玩了。

 時鐘上有12個數字，依大小依次是，1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,11,12。 所以就是(1+12)X12/2。換個方式想的話，就是有6組相加為13的兩個數字，分別是1跟12，2跟11，3跟10，4跟9，5跟8，6跟7。 6=3X2 所以我們可以把鐘面分成6個總和相等的部份，也可以分成3個相等的部份，以及2個相等的部份。

(1+12)X12/2=78，所以78這個數字可以是某一等差級數的和，那如果是等比級數呢？

78有沒有可能是等比級數的和呢？

雖然我把等比級數和的公式罵得一文不值，不過這次倒是用公式的好時機。

公式： Sn=a(1-r^n)/(1-r)=a(r^n-1)/(r-1)

我個人比較喜歡用Sn=a(r^n-1)/(r-1)所以就用這個吧。

已知Sn=78=a(r^n-1)/(r-1)。其中a,r,n皆為整數。

移形換位一下。

a=78x(r-1)/(r^n-1)

78=2x3x13 所以(r^n-1)必須為2,3,13,2x3,2x13,3x13,2x3x13才能將78整除，否則

a就不會是整數了。繼續計算下去

r^n=3,4,14,7,27,40,79

再下來就是依照我們對次方數的感覺及印象。

r^n在r,n皆為整數的情況下只能是4,27

r^n=4,2^2=4, r=2, n=2, 代入 得到 a=26, 所以序列就是 26+52=78, 26x2=52  

r^n=27, 3^3=27, r=3, n=3 代入 得到 a=6, 所以序列就是 6+18+54=78, 6x3=18,18x3=54

我玩得還蠻開心的，留個題目給大家玩。

什麼序列會是等差級數也會是等比級數呢？

這題說來不難，只是有點狡詐而已。 Have fun!