題目來自數學女孩費馬的最後定理

還蠻有趣的題目，就是有點不大好理解它到底是要問什麼？其實不一定要說是複數平面，跟複數無關啊，就一般的平面就可以了。格子點的定義要記得，就是(X,Y)，X,Y都是整數就是了。然後題目是說，五個格子點裡必定有兩個點的中間點也是格子點。至於最後兩句只是補充的限定而已，其實可以不理會。我這樣算是把我認為題目講得不夠清楚的地方做了點說明。

解答：

格子點是什麼呢？題目說X,Y都是整數，這是第一個條件。

再來題目說五個格子點裡必定有兩個點的中間點也是格子點。兩個點可以設成(X1,Y1),(X2,Y2)，中間點就會是((X1+X2)/2,(Y1+Y2)/2)，而這個中間點會是格子點，也就是(X1+X2)/2會是整數,(Y1+Y2)/2也會是整數。繼續推下去，(X1+X2)會是偶數,(Y1+Y2)也會是偶數，所以當它們除以二時會是整數。

(X1+X2)會是偶數,(Y1+Y2)也會是偶數，這是第二個條件。由於第一個條件已經確定X1,X2,Y1,Y2會是整數。

到這裡都是將題目用更精確的數學來描述。接著，稍微思緒有點跳，什麼整數加什麼整數會是偶數呢？偶數加偶數會是偶數，奇數加奇數會是偶數，嗯，那我們將格子點依據是偶數或是奇數來分類看看：

1,(偶數,偶數)

2,(奇數,奇數)

3,(奇數,偶數)

4,(偶數,奇數)

題目說有5個點，喔！所以第5個點會跟上面4個點中的一點有相同的奇數偶數分類，然後我們已經知道奇數加奇數會是偶數，偶數加偶數會是偶數。所以就得到了證明。

從這五個點裡頭，選兩個適當的點P,Q，則線段PQ的中點M也會是格子點。

鴿籠原理：四個籠子，五隻鴿子，必定有一個籠子有兩隻鴿子。

想想奇數偶數的特性還真是有趣！奇數加偶數，或是偶數加奇數，得到的一定是奇數。偶數加偶數，或是奇數加奇數，得到的一定是偶數。奇數是除以2會餘1，偶數是會被2整除。 可是如果用3當除數來看，3n,3n+1,3n+2，3n+3n依然是3的倍數是沒錯，可是3n+1加上3n+1，就會是3M+2了，特性就不同了。

再想想。奇數加奇數也是會特性不同，不過只要兩個相同奇偶性的數相加就一定會是偶數，算是很好運用的特性。 如果以奇數偶數來看，兩個數相加的結果，有1/2的機會是偶數，1/2的機會是奇數。那三個數相加，其結果會有多少的機率會是3的倍數，不是3的倍數的機率又多少呢。3X3X3=27, 3+6=9，是3的倍數的機率是1/3，所以不是3的倍數的機率是2/3。我想可以用從袋子裡拿球來解釋，袋子裡有無窮多的整數球，拿一個球的數字是3的倍數的機率是1/3，拿3個球也會是1/3，其實跟拿幾個球無關，拿2個拿5個，是3的倍數的機率依然是1/3。只是我們是將球的數字相加看是否是3的倍數，但道理是相通的，重點不在拿幾顆球，而是我們是如何將數字分類。

那如果袋子裡的球都是偶數，拿兩顆球相加的結果是3的倍數的機率會是多少呢？ 重點還是在怎麼分類數字，而不是拿幾顆球。