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為什麼自然對數這麼重要?
2010/11/04 13:46:13瀏覽86405|回應3|推薦9

基本上只要和微積分沾的上關係的,電子、化工、乃至於純數學,一定看的見這兩個符號:【e】【ln】,從高中開始看見這個符號,沒有一個老師能回答我為什麼要有這個符號?為什麼它存在?為什麼不用log卻用ln?為什麼會需要一個2.7182818..這麼奇怪的數字?老是要我背,不希望我問為什麼?我真的是刁鑽的學生嗎?好痛苦!我真的沒辦法忽略它,跳過這個問題去考試。

這個問題困擾了我將近二十年,後來我終於看懂了,搞死我了,原來只是這樣!

所有的運算,都是基於加減法而來,而人類社會越來越複雜,越來越依賴數字的運作,乘除法便應運而生,乘除法是加減法的簡式,它把一大堆符號合併成單一式子,使得我們可以進行更複雜的紀錄與運算。

當社會越來越進步,建築、航海、經濟等等越來越發達,使得我們不只需要計算複雜的式子,也需要快速得到答案,在沒有計算機的年代,查表變成了最快得到答案的方法,可怕的是,要有一個瘋子去建出這本好似電話簿的數字表!

2 = 21   1

4 = 22   2

8 = 23   3

16 = 24  4

32 = 25  5

早期的科學家,發現了下面兩個式子的對應關係。

4 * 8 = 32 ……(1)

log2(4) + log2(8) = log2(32) ……(2)

換句話說,(4*8)這個計算,我只需要做出(2+3=5),接下來在第5欄查到32就可以得到答案了,或許有人會直接用99乘法表心算得到答案,覺得這個查表很愚蠢,我必須要說,你在用的99乘法表不就是在查表嗎?你在幹的事不就和幾百年前做的一模一樣嗎?算一下4096*8192,沒背了!就寫不出來了!

很遺憾,上述的表格再大也查不出來(9*9)的答案,問題就在底數的選擇,這裡選的是(2),這期間有許多人做出許多奮鬥,嘗試了各種數字,納皮爾這個人花了將近20年做出了一本精確到7位數字的對數表,所以人類的進步都是依賴這些瘋子完成的,不是看那些大學生整天用嘴說:【用青春寫歷史、青春萬歲、燃燒青春】,這裏面我只承認【燃燒青春】,每天熬夜在玩不燃燒青春嗎?

一直到有一個傢伙選了一個極為聰明的函數,就因為這個特殊的函數型態,導致日後的微積分,乃至於其他的科學,才得以行進下去,沒有這個東西,我們現在可能還停留在莊園時代,說不定是個佃農:

(1 + 1/n)n

假設n = 1000就是1.0011000,為了方便,我們使用n = 100就是1.01100,假設它為a,那我們就用這個數字建一個對數表:

第一欄 0.01 = loga(N)  N = (1.01100)0.01 = 1.011 = 1.01

第二欄 0.02 = loga(N)  N = (1.01100)0.02 = 1.012 = 1.0201

第三欄 0.03 = loga(N)  N = (1.01100)0.03 = 1.013 = 1.030301

……

有一種東西叫巴斯卡三角形,這個東西是基於二項式定理來的

   1

  1 1

 1 2 1

1 3 3 1

看到了這個三角形,再看看上面對數表最後面的數字,大概可以感受到為什麼要使用1.011.001等等這麼奇怪的數字型態了吧,因為這種數字型態可以更快速計算出答案。

說到這裡要再囉嗦一下,不要再去計較中國的楊輝三角比巴斯卡三角要早,所以中國人比較厲害,感覺很像小孩子吵架,你爸爸憋氣一分鐘,我爸爸更厲害,可以憋10分鐘,再怎麼厲害,也是祖先厲害,又不是你,沾甚麼光!

另一個巨人:尤拉(Euler),眼睛瞎了還可以寫數學著作,也是一個偉大的瘋子,聽說這個人個性很謙虛,他證明出當n為無限大時:

這個式子是收斂值,這是一個極為重要的發現,一個確認大小的數字,裡面可以切割出無限個點,這表示我可以做出刻度無限小的對數表(0.0…..0001),換句話說任何數字經過nature log相關運算必定能算出數字,而這個數字存在,只是寫不出來,寫不寫得出來只是書寫極限,並不影響存不存在的問題。

我認為,這也就是為什麼許多地方,無論是物理學、數學、工程等等的方程式推演,很喜歡朝向ln(nature log)e的方向行進,就是這個原因。

現在我有的時候回頭看古人搞科學,看到那些神妙處,真慚愧,越古會的應該越少才對,我甚麼都不會,應該才是古代人,他們是現代人,曾國藩的兒子曾紀鴻是一個大數學家,算出的圓周率竟然準確到小數點100位,我的媽呀!他是用手算耶!愛因斯坦十幾歲的時候,他的老師告訴他媽媽,妳一定要讓愛因斯坦去學一門手藝,不然他那麼笨,將來非餓死不可,結果他20幾歲發表了相對論、光電效應等論文,聰明還是笨,古代還是現代,真的很難說!

( 心情隨筆心情日記 )
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引用
引用網址:https://classic-blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=cchahacaptain&aid=4565752
 引用者清單(1)  
2012/08/02 11:27 【理性與感性】 自然對數

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Eric
2021/07/12 09:58

臺灣刪除Natural log,而國外有教

這種教改的概念真的無法理解

對於理工很重要的 ln,居然刪除 

這樣大學可以銜接?


綠荷
2021/03/16 23:29
有趣的 По сути, поскольку это связано с расчетами, электроникой, химической инженерией и даже чистой математикой, вы должны видеть эти два символа: [ e ] [ ln ], я видел этот символ со средней школы, и ни один учитель не может мне ответить зачем нужен этот символ? Почему он существует? Зачем использовать ln вместо log ? Зачем нужен 2.7182818 .. такое странное число? Всегда хочу, чтобы я читал, не хочу, чтобы я спрашивал, почему? Неужели я действительно непростой ученик? Это больно! Я действительно не могу это игнорировать, пропускаю этот вопрос и иду на экзамен. Эта проблема беспокоила меня почти 20 лет, а потом я наконец ее понял, и она меня убила. Все операции основаны на сложении и вычитании, и человеческое общество становится все более и более сложным, все больше и больше полагаясь на операции с числами, возникло умножение и деление. Умножение и деление - это простая форма сложения и вычитания, которая объединяет много символов.Слияние в единую формулу позволяет выполнять более сложные записи и вычисления сервер сервер http://dellexpert.ru/ .

GaitzCheng
2013/10/11 13:03
這篇有幫到我XD 了解 e 
查了很多都一開始就丟出  定義  
然後來做各種關係的證明而已

感覺這是學數學最大的問題 不知其所以然 
從發展歷史去了解 才會知道 為什麼要這樣做 定義

原來 base e 是為了要 適用於 任何數  都能取對數用的底
這樣就清楚很多 感謝你 (ragnarokcute@gmail.com)
彼得鄧(cchahacaptain) 於 2014-01-27 19:05 回覆:
這是我們教育的毛病,可怕的是還要延長為12年