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| 2011/03/27 00:53:40瀏覽1208｜回應0｜推薦3 | |
《引言》 預備知識：時事、放射性物質和人體代謝的概念。 最近日本核災的議題正烈，許多人關心的是生命有沒有可能因為輻射而遭到威脅，或是日本貨會不會被輻射污染？ 被輻射污染的物質，如果人體吃進去，那麼人就會吸收到放射性物質。放射性物質在人體內衰變，放出高能射線直接攻擊細胞，這是對人體傷害最大的。 然而並不是所有被吸收的物質都會在體內衰變。什麼意思呢？因為人體也會代謝掉一些物質，所以真正被人體吸收的並沒有那麼多。那麼到底是有多少呢？ 《正文：基礎篇》 預備知識：分數、比值、引言的預備知識、指數 這裡要先引進兩個名詞：「自然半衰期」和「人體半衰期」。其中前者比較為人所知，就是某放射性物質因為衰變而減半所需的時間。例如：碘131的自然半衰期是8天，也就是說如果妳有100克的碘131，那麼8天後妳就只有50克了(當然，持有碘131不是什麼好事)。而「人體半衰期」，意思是人體吸收某物質後「排出」(而不是衰變！)一半所需的時間。例如，如果很衰的某甲吸收了1克的毒物，那麼經過了一個人體半衰期後，某甲體內的毒物會變成0.5克。然而，排出的毒物0.5克仍然存在於自然界中，而不會衰變成其他物質，這也是「自然半衰期」和「人體半衰期」容易讓人搞混之處。 對放射性物質來說，它同時有「自然半衰期」和「人體半衰期」，不過這是兩個獨立的事件(放射性物質無論在什麼環境下都是一樣的半衰期)。另外，人體排出的量仍然存在於自然界中，繼續以自然半衰期衰變。 而大家關心的事情應該是：當人吸收了N的放射性物質後過了時間t時，會有多少物質在人體中衰變？又當時間過了很久時，這個量是多少？ 結果是：如果這個放射性物質的「自然半衰期」和「人體半衰期」的比是a:b，那麼過了時間t後，放射性物質在人體中衰變的量是[b/(a+b)]N*{1-(1/2)^[(a+b)t/ab]}，其中要特別說明的是a^b是「a的b次方」的意思。而當時間過了很久後，放射性物質在人體中衰變的量變為[b/(a+b)]N。 而這些奇怪的結果到底是怎麼算出來的？如果您具備以下所列的預備知識且沒有數學恐懼症，歡迎往下看。 《正文：進階篇》 預備知識：函數、微分、積分、極限、微積分應用題概念、指數、對數、自然對數 Solution: 假設某放射物質之自然半衰期為Tn'，而人體半衰期是Tb'。 (i)自人體吸收放射性物質過了時間t之後，殘留在人體內的放射物質為N(t)，則由於體內會因為人體半衰期少掉(1/2)^(t/tb')且會自然半衰(1/2)^(t/tn')，又兩事件是獨立的，所以 N(t)=N*(1/2)^(t/tn')*(1/2)^(t/tb'+t/tn')=N*{(1/2)^[(tn'+tb')/tn'tb']}^t(請注意{(1/2)^[(tn'+tb')/tn'tb']}是已經給定的數，也就是常數) (ii)在時刻t時，過了一段極微小的時間dt，該放射物質在人體中衰變的量= N(t)-N(t)*(1/2)^(dt/tn')=N(t)[1-(1/2)^(dt/tn')] (iii)令f(x)=(1/2)^x，這裡要引進微分公式：d/dt(C^x)=ln C*(C^x)，其中C是常數(而不能是有x變數的函數)，ln是自然對數，也就是log以自然對數e為底。另外，這個式子也可以兩邊再同乘一個常數C'得到d/dtC'(C^x)=ln C*C'*(C^x)，而如果C'=1/ln C那麼原式變成d/dt[(C^x)/ln C]=C*(C^x)(A式)。 根據微分的定義，有以下取近似的方法：f(a)~f(b)+f'(b)*(a-b) 所以，(1/2)^(dt/tn')=f(dt/tn')~f(0)+f'(0)*dt/tn' 又明顯地f(0)=1，且根據微分公式，f'(x)=ln(1/2)*(1/2)^x，此外，ln1/2=-ln2 f(0)+f'(0)*dt/tn'=1+ln1/2*dt/tn'=1-ln2*dt/tn (iv)再來要對N(t)[1-(1/2)^(dt/tn')]這個式子積分，然後取0到t做定積分。 又根據(iii)得到的近似式，N(t)[1-(1/2)^(dt/tn')]=N(t)[1-(1-ln2*dt/tn')]=N(t)(1-1+ln2*dt/tn')=N(t)ln2/tn' dt=N*{(1/2)^[(tn'+tb')/tn'tb']}^t*ln2/tn' dt 這個式子積分後會得到-N*(a/b)，其中a={(1/2)^[(tn'+tb')/(tn'tb')]}^t，b=(tn'+tb')/tb' 這個過程需要用到剛才的A式，然後再做一些化簡。 之後做0到t的定積分可以得到N*[tb'/(tn'+tb')]*{1-(1/2)^[(tn'+tb')/tn'tb']t} 如果時間很長，就把t取無限大，那麼(1/2)^[(tn'+tb')/tn'tb']t會趨近於0，整個式子變成N*[tb'/(tn'+tb')]，之後就請自己用a跟b代換吧！ 《後記》 用這種超陽春的方式打這麼複雜的計算過程真的很麻煩啊！終於打完了(攤) 我想會看的應該也沒幾個人吧，不過我要是不打可能就會有人問「ㄚ這到底是怎麼出來的？你沒告訴我啊！」，所以就把這整段都打出來囉！ |
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