一切衡量事物大小、多寡的數字都是實數。大大小小、接連不斷出現的各種實數數字，轉化為圖像，用一個個的「點」標示出來，就會成為一條筆直的線，稱為「實數線real number line」。

代數2

研究心得：

1.     一切衡量事物大小、多寡的數字都是實數。大大小小、接連不斷出現的各種實數數字，轉化為圖像，用一個個的「點」標示出來，就會成為一條筆直的線，稱為「實數線real number line」。

2.     「數學」存在的目的是在看似混亂的現象中找到它們發展的秩序，所有事物的發展都有一個起點，實數線的「原點origin」是「零0」。

3.     原點「零0」左邊全部都是負數，右邊全部都是正數，原點左右兩邊的數字是對稱的，增加或減少的規則一樣，原點「零0」是正負二種實數的分隔島。

4.     原點「零0」的意義：

一、原點「零0」指出正負二種實數的相異性： 「零0」的左邊數字逐漸減少，全部都是「負數」；「零0」的右邊數字逐漸增加，全部都是「正數」。

二、指出正負二種實數的共通性：「零0」左邊的數字，如果改變的幅度與右邊一樣，數字就會一樣（正負號會相反）。

5.     針對第二點舉例說明，「零0」的左邊少1個單位是－1，「零0」的右邊多1個單位是1，數字都是「1」，這是共通性；同樣的，當「零0」的左邊少200個單位成為－200，右邊多200個單位是200，數字都是「200」，這是共通性。

6.     第二種分類方式，實數線上的代表實數的所有點可分為有理數與無理數。有理數是明確的數字，有明確的位置、彼此的距離有規則；例如0、正整數、負整數、分數/循環小數……。無理數是位置模糊、彼此間距較無規則的數字，例如√2、√3、π、√7……。

7.     舉例來說，整數是一種有理數，數線上的所有整數都有明確的位置，彼此都有固定的距離。我們可以明確地知道整數「1」的位置在零的右邊1格，也能清楚知道整數「1」與整數「2」之間的距離。

8.     因為整數的數列非常有秩序、規則，因此我們可以預測，整數「200」與原點「0」之間的距離是「200」，整數「200」與負整數「－7」之間的距離是「207」。

9.     「分數」是另一種有理數，我們能夠明確地知道數線上所有分數的位置，舉例來說，我們知道8/5的位置是在「零0」的右邊1格，又往右推進3/5的位置。

10.  √2屬於無理數，雖然理論上每一個實數都應該在數線上有一個明確的點，但實際標示的時候，我們找到的是一個√2的近似值點，而不是真正的√2點。

11.  √2＝1.41421356……，我們縱使在數線上找到一個1.4142的位置，也不是真正的√2，我們再往後推一個數字1.41421，就會找到更接近真正的√2的位置，繼續往後推，還有更符合√2的真實位置……，因為在1.41421356後面有無限的小數，這使得我們永遠也不可能找到真正的√2點。

12.  無理數沒有明確的位置，無理數之間的距離也比較沒有規則，√3與√5之間的差距，與√5與√7之間的差距毫無關係。

13.  實數的數線上的無理數代表的不是直線上的正常數值，而是曲線、平面、立體……等非直線事物，被壓縮成直線後，得到的近似值「點」。