實數就是我們日常生活用來「數量」的一切數值，例如人的「年紀」就是一種實數，描述每加倫汽油能走幾公里這是使用「實數」說明，人口總量、動物總數，也是一種「實數」。

代數1

1.     實數real numbers：實數就是我們日常生活用來「數量」的一切數值，例如人的「年紀」就是一種實數，描述每加倫汽油能走幾公里這是使用「實數」說明，人口總量、動物總數，也是一種「實數」。

2.     以下的例子說明「實數」有哪些表達方式：

－5, 9, 0, 4/3, 0.666……, 25.21, √2, π, and ³√－32

3.     這裡有一些重要的實數的子集合subsets（「子集合B」的成員自然數、完全數、整數是「集合A」實數的一部份）。連續的點點點「…」是省略符號，指後面還有很多數字，這些數字會按照目前已知的增減的原則，無限延續下去。

｛1、2、3、4……｝ 自然數集合

｛0、1、2、3、4……｝完全數集合

｛……－3、－2、－1、0、1、2、3……｝整數集合

注：集合是指一組同類型的數字，例如自然數集合裡面所有的數字都是正整數，這是它們的共同特徵。

注：「子集合B」的成員是「集合A」的一部份。是什麼意思？舉例說明，台灣所有的人是一個大的集合A，大家的共同特徵是認同台灣、追求台灣的最大利益，但是台灣有許多不同族群，選民分成獨派、統派、愛棒球族群、關心教育族群…，每個小團體稱為子集合，子集合是台灣族群大集合的一部份。

4.     如果實數是由二個整數p、q相比/相除而得的數值p/q，並且分母的數字q不是0：q≠0，這種實數稱為有理數rational numbers。

（注：rational numbers字面上的意思是「比例數」，也就是二個整數相比出來的數值，但是一般中文翻譯為「有理數」）

5.     有理數到底是什麼樣子呢？我們舉以下的例子說明

1/3＝0.3333……＝0. ^¯¯3 (循環小數), 1/8＝0.125,  125/111＝1.126126…＝1. ^¯¯126（循環小數）

以上這些都是有理數。

6.     0. ^¯¯3小數點之後的上標線^¯¯是指數字不停重複。這些有理數都是十進位制，它們有的是數字會重複循環，是無限的有理數（循環小數），有些有理數是有限的數字。

7.     無限的有理數，尾數不停循環的情況，舉例來說，173/55＝3.1^¯¯45，其中「3.1^¯¯45」紅色部分代表0.045之後不停重複延續45這個數值，3.145454545454545……，小數點之後無止盡地持續「45」下去。

8.     有限的有理數，例如1/2＝0.5，0.5就是1/2的全部、沒有其他的了。

9.     一個「實數」如果不是由二個整數相比得到的結果，稱為無理數 irrational numbers。無理數的尾巴是一大堆不規則、十進位的數值。舉例來說，

√2＝1.4142135……≒1.41 並且π＝3.1415926……≒3.14

以上這些是無理數。（注：符號≒的意思是 ≒前的數值，「近似、接近於」≒後的數值）

10. 下表是各種數字之間的關係

n         翻譯編寫Ron Larson and David C. Falvo《Algebra and Trigonometry》

研究心得：

1.     什麼是實數？我們生活中所有衡量數量大小的數值，都稱為實數。計算人口、計算每加侖的汽油能跑多遠、計算鞋子的尺寸、計算年菜需要花多少錢、計算樓版面積……，一切生活用到的計算數字，都稱為「實數」。

2.     什麼是整數？整數是沒有小數點的完整數字，例如「2」是整數，「2.7」就不是整數。

3.     這世界上有許多事物存在著基本單位，沒有辦法分割成更小單位（或者一旦分割就變成其他種類的事物，不是原本的那個事物），所以，計算出這種東西的數量多寡，一定是用整數來計算，而不需要用分數或小數。

4.     舉例來說，我們計算人數，會得到1個人、10個人、126個人……等整數的結論，不會出現1.2個人或半個人，這只有在鬼故事中講到阿飄的時候才會多出半個人，現實生活不會。計算人數一定是以「1個完整的人」為單位，這就是整數的意義。

5.     整數分為「負整數」與「完全數」二類，完全數又分為「零」與「自然數」，我們為什麼需要這些數字分類？

6.     女人挑老公會非常在意男人是否有經濟能力，有經濟能力就是指他有收入，這是「正整數」，又稱為「自然數」，自然數愈高身價愈高：如果男人沒有經濟能力，收入是「零」，那就不太有身價。

7.     如果男人長期入不敷出、負債，他的經濟能力是「負整數」，欠銀行一百萬，那幾乎就可說是完全沒有身價，除非他長得很帥。自然數、零、負整數就是女人挑老公的時候經常用到的三種衡量指標。

8.     這幾年經濟不景氣，各國比較財務是否穩健的關鍵在於國債，國債屬於「負整數」。一個國家如果國債破表，「負整數」的數值很高，代表這個國家財務不健全、政客花太多錢酬庸軍公教、經濟前景堪憂；一個國家完全沒有國債，代表它的財政情況是「完全數」，十分健全。

9.     國家財政情況是「完全數」有可能收支剛好平衡，負債是「零」，也可能收入大於支出，有多餘的錢存下來以後備用，財政收支是「正整數/自然數」。無論是哪一種情況，國家財政收支是「完全數」絕對比國家財政收支是「負整數」來得好。

10. 什麼是有理數？有理數是二個整數互相比較、相除出來的數值。有理數是二個整數的「比例數值」。

11. 舉例來說，有一塊蛋糕要平均分給一起來慶生的八個人，「一塊」蛋糕是整數，「八個」人也是整數，切出來的「八片」蛋糕就是「有理數」，我們很確定每一個人分到的一片蛋糕佔原本蛋糕總量的八分之一，八分之一就是一個有理數。

12. 有理數可以用分數表達，例如1/3，也可以用小數字表達，寫成循環小數，例如0.333333……＝0. ^¯¯3。

13. 什麼是無理數？無理數不是「非整數」，並且小數點後面有無限小數，這些無限小數沒有規則，不像循環小數那樣重複相同的幾個數字。例如√2＝1.4142135……。「……」代表後面還有很多沒有規則的數字。

14. 無理數的特色是它比較沒有規則。圓周線與直線相比，圓周線比較沒有規則，所以，一個圓的圓周線與半徑直線相比/相除得到的結果是無理數π＝3.1415926……；同樣的，曲線、橢圓線跟直線相比，也是比較沒有規則的。

15. 二度空間「面積」與一度空間「邊長」是不同的世界，把面積換算成它的邊長，容易發生邊長是無理數的情況，例如

面積是2，它的邊長是√2＝1.4142135……

面積是3，它的邊長是√3＝1.73205080756888……

面積是5，它的邊長是√5＝2.23606797749979……

面積是7，它的邊長是√7＝2.64575131106459……

以上四種面積都是整數，但是它們的邊長都是無理數。

16. 因為「平面」是由無數的「直線」沿著同一個方向堆疊而成的，二度空間平面與一度空間的線，存在一些交集，因此也會發生面積換算成邊長得到有理數的情形，例如面積是25，邊長是5，邊長5是有理數。

17. 同樣的道理，三度空間的體積轉換成一度空間的邊長，也容易出現無理數的情形。四度以上的空間事物，轉換成一度空間也容易出現無理數。

18. 自然界許多事物變化的過程是不規則的，例如蘋果每分鐘都在漸漸長大，由於過程不是一次瞬間變大「特定」距離的寬度，因此如果用精密的儀器測量蘋果的腰圍會得到各種無理數。

19. 光子前進並不是筆直的前進，而是滾動中前進，呈現波一樣的運動模式。光子移動過程不會像直線運動那樣，每隔一段時間推進一段特定距離，而是一點一滴連續性移動、移動過程隨著波的高低而有不同的數值，光波的過程中每個光點都是不規則的無理數。