一半徑為 1之圓O上有兩點A,B將圓分成弧長比1:2兩部份，今在圓內取一點C， 令I為△ABC之內心，求I所成軌跡的面積？

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先設取C在圓O上

作 △ABC(建議取C在劣弧AB) 及 其 內切圓I  , 今延長CI交圓O於M , 延長BO交圓O於K.

(1)如圖所設(請讀者畫看看), 先証 BM = IM

角BIM = 角BCI + 角CBI = 1/2*(角C+角B)-----------1

且角ACM 與 角ABM 同對 弧AM, 所以角ABM = 角ACM = 1/2*角C

所以角IBM = 角IBA + 角ABM = 1/2*(角C+角B)-----------2

綜合1,2便得△BIM為等腰三角形, 故 BM = IM

同理亦可知 BM = AM = IM , 所以M為 弧AB的中點(與C異側)

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也就是說只要在圓O上任取一點C ,都滿足BM = AM = IM

表 I 在以M為圓心且以AM為半徑的圓弧上, 因此I 的軌跡可知

再取C在優弧AB上,亦可以得到相同結果,唯M的位置變了

綜合後,可得軌跡為一個很像眼形的圖形(兩個M的位置,即AB中垂線與圓O的交點)

若C取在圓上,便只得圖形的周邊, 若C取在圓內,便得圖形的整塊面積

至此, 再由以知條件求出此塊面積,已不是難事.^^

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如果我沒計算錯誤,應該是  5/6*拍 - 根號3