證明√3為無理數 - 書摘．舒哉

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證明√3為無理數

2010/07/08 15:25:57瀏覽7635｜回應1｜推薦2

我快睡著了，再不找點東西來想我可能會因為上班睡覺被FIRE掉！

好！我我我，我今天要來證明√3是無理數......（現在換看的人睡著了）

警告，以下內容會使人入睡，請勿在從事開車或操作機械時閱讀。

請證明√3為無理數。

前置知識：

有理數：可化為最簡分數形式，或可化為小數的數；其中小數限制為循環或有限小數。例如：2 / 3 ， 1 / 3 = 0.33333... ， 5 / 8 = 0.625　；另 2 / 4不是有理數，因為它沒有化為最簡，即1 / 2。
無理數：無法化為最簡分數形式，或可化為不循環小數。例如：√2，Pi=3.14159...（不循環）
簡單邏輯概念：

若P則Q：寫做P => Q，意思是如果P成立，則Q絕對成立。P或Q 可為獨立事件或陳述；例如：如果天空下雨(P)，則地是濕的(Q)。此句成立，則叫做正確命題。以此命題可發展逆命題，即若非Q則非P；寫做~Q => ~P；例如：如果地不是濕的(~Q)，則天空沒下雨(~P)。

了解以上前置知識後，即可來證明，我們可以先從定義來下手：

若√3為無理數(P)，則它不是有理數(Q) 。

這句聽起來好像廢話，就跟”因為我是男生，所以我不是女生”一樣蠢。那我們改一下：

若√3為無理數(P)，則它不能化為最簡分數形式（有理數）(Q) 。

這樣看起來好多了，現在我們有了P => Q，所以我們也同時有了~Q => ~P；我們把~Q => ~P寫成下面的句子：

若√3可以化為最簡分數形式(~Q) ，則它就不是無理數(~P)。

這就是反證法，如果我們要證明某個東西是長這樣，那我們先假設那個東西不是長那樣，看看情況會怎麼樣（真饒舌）；如果我們假設√3是有理數，那來看看情況會變怎麼樣，如果有出現矛盾，則我們的假設（√3是有理數）就錯了，就可以確定它是無理數了。

即然我們假設√3是有理數，我們參考有理數的定義，令√3＝A/ B，A/ B為最簡分數。

將等號兩邊平方：

3 = A²/ B²

=> A²= 3B²

A²是3的倍數，則A是3的倍數*；令A = 3x，則

(3x)²= 3B²

=> 9x²= 3B²

^{=> 3x²= B²}

^{^{B²是3的倍數，則B是3的倍數；原式為}}

^{^{√3＝A/ B}}

^{^{A是3的倍數，}}^{^{B也是3的倍數，則}}^{^{A/ B不為最簡分數，即不是有理數。}}

這結論與我們開頭的假設：√3是有理數互相矛盾，所以我們說√3不是有理數，√3是無理數。

還沒睡著的人舉手，我都快睡著了。

*再來一小題，證明A²是3的倍數，則A是3的倍數。

假設A是3的倍數，則A = 3x，A²= 9x²= 3*3x²

^{好了，我要去睡覺了。}